Dois vectores
e
são dados por
e
. Determine
,
e o ângulo
entre
e
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra vetorial onde temos dois vetores em 3D,
e
, definidos como:
Precisamos determinar:
-
-
-
-
(produto escalar) - O ângulo
entre e
Para isso, vamos usar operações básicas com vetores, como adição, subtração, multiplicação por escalar, produto escalar e a fórmula do ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Calculando
A soma de dois vetores é feita somando componente a componente.
Passo 3
Calculando
Subtrair dois vetores também é feito componente a componente.
Passo 4
Calculando
Primeiro, multiplicamos cada vetor pelos seus escalares e depois subtraímos.
Agora, somamos:
Passo 5
Calculando o produto escalar
O produto escalar entre dois vetores é dado por:
Aplicando os valores:
Passo 6
Calculando o ângulo
entre
e
A fórmula para encontrar o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar é:
Primeiro, vamos calcular as magnitudes dos vetores.
Agora, substituímos na fórmula do produto escalar:
Isolando
:
Calculando o ângulo: