Dois vectores a e b são dados por a=i-2 j+k e b=2 i+j-2 k. Determine a+b, a-b, 3 a-2 b, a cdot b e o ângulo varphi entre a e b

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra vetorial onde temos dois vetores em 3D, a e b, definidos como:
a = i - 2j + k
b = 2i + j - 2k
Precisamos determinar:
  1. a + b
  2. a - b
  3. 3a - 2b
  4. a cdot b (produto escalar)
  5. O ângulo varphi entre a e b
Para isso, vamos usar operações básicas com vetores, como adição, subtração, multiplicação por escalar, produto escalar e a fórmula do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Calculando a + b
A soma de dois vetores é feita somando componente a componente.
a + b = (1 + 2)i + (-2 + 1)j + (1 - 2)k = 3i - j - k

Passo 3

Calculando a - b
Subtrair dois vetores também é feito componente a componente.
a - b = (1 - 2)i + (-2 - 1)j + (1 - (-2))k = -i - 3j + 3k

Passo 4

Calculando 3a - 2b
Primeiro, multiplicamos cada vetor pelos seus escalares e depois subtraímos.
3a = 3(1)i + 3(-2)j + 3(1)k = 3i - 6j + 3k
-2b = -2(2)i + -2(1)j + -2(-2)k = -4i - 2j + 4k
Agora, somamos:
3a - 2b = (3 - 4)i + (-6 - 2)j + (3 + 4)k = -i - 8j + 7k

Passo 5

Calculando o produto escalar a cdot b
O produto escalar entre dois vetores é dado por:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Aplicando os valores:
a cdot b = (1)(2) + (-2)(1) + (1)(-2) = 2 - 2 - 2 = -2

Passo 6

Calculando o ângulo varphi entre a e b
A fórmula para encontrar o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar é:
a cdot b = |a| , |b| cos(varphi)
Primeiro, vamos calcular as magnitudes dos vetores.
|a| = raiz1^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
|b| = raiz2^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3
Agora, substituímos na fórmula do produto escalar:
-2 = raiz6 times 3 times cos(varphi)
Isolando cos(varphi):
cos(varphi) = -23raiz6
Calculando o ângulo:
varphi = cos^-1(-23raiz6) approx 110,53^circ

Resposta

a + b = 3i - j - k
a - b = -i - 3j + 3k
3a - 2b = -i - 8j + 7k
a cdot b = -2
varphi approx 110,53^circ

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