Dois vetores A e B possuem módulo de A=3,0 e de B=3,0. Seu produto vetorial é A times B=-5,0 k+2,0 0. Qual é o ângulo entre A e B ?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de vetores onde temos dois vetores, A e B, com módulos de 3,0 cada. Sabemos também o produto vetorial deles, que é A × B = -5,0 k + 2,0 j. Nosso objetivo é encontrar o ângulo entre esses dois vetores. Para isso, vamos precisar entender como o produto vetorial está relacionado com o ângulo entre vetores e usar algumas fórmulas da geometria vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial de dois vetores A e B é dado pela fórmula:
A times B = |A| cdot |B| cdot sin(theta) cdot n
Onde:
  • |A| e |B| são os módulos dos vetores A e B.
  • theta é o ângulo entre os vetores.
  • n é um vetor unitário perpendicular ao plano formado por A e B.

Passo 3

Para encontrar o ângulo theta, precisamos primeiro calcular o módulo do produto vetorial A times B. O produto vetorial dado é:
A times B = -5,0 k + 2,0 j
O módulo desse vetor é calculado pela fórmula:
|A times B| = raiz(-5,0)^2 + (2,0)^2 = raiz25 + 4 = raiz29 approx 5,385

Passo 4

Agora, sabemos que:
|A times B| = |A| cdot |B| cdot sin(theta)
Substituindo os valores conhecidos:
5,385 = 3,0 cdot 3,0 cdot sin(theta)
5,385 = 9,0 cdot sin(theta)

Passo 5

Isolando sin(theta):
sin(theta) = 5,3859,0 approx 0,598

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta, calculamos o arco seno de 0,598:
theta = arcsin(0,598) approx 36,7^circ

Resposta

O ângulo entre A e B é aproximadamente 36,7^circ.

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