O plano ax+by+cz=d é a interface entre dois materiais magnéticos com permeabilidades relativas mur 1=1,5 e mur 2=3, onde a origem pertence ao meio 1 . Considerando que na região 1 exista uma densidade de fluxo magnético uniforme dada por barB1=15 barax-5 baray+10 baraz(mWb / m^2), calcule: o ângulo que o campo barB2 do meio 2 faz com a normal a interface. Dados: a=2, b=4, c=7 e d=1.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede e o que a gente precisa:
– Enunciado resumido: Temos um plano interface dado por 2x+4y+7z=1 entre dois materiais magnéticos com permeabilidades relativas mur1=1,5 (meio 1) e mur2=3 (meio 2). No meio 1 o fluxo magnético é uniforme:
bar B1=15,bar ax-5,bar ay+10,bar az(mWb/m^2)
Queremos achar o ângulo theta que o vetor bar B2 (fluxo no meio 2) faz com a normal à interface.
Conteúdo/matéria: condições de contorno em eletromagnetismo/magnetismo. Em especial,
  1. A componente normal de bar B é contínua: B1n=B2n.
  2. A componente tangencial de bar H é contínua: H1t=H2t, e como bar H=bar B/mu, isso dá toque na componente tangencial de bar B.
O que vamos precisar:
– Vetor normal ao plano, cálculo de projeção (produto escalar) para separar componentes normal e tangencial de bar B1.
– Usar mu1=mu0mur1 e mu2=mu0mur2 (na prática basta usar razão mu2/mu1).
– Montar bar B2=bar B2n+bar B2t e, por fim, achar o ângulo com a normal via cosseno.

Passo 2

Primeiro, determina o vetor normal não unitário do plano:
bar n=(a,b,c)=(2,4,7)
O módulo dele é
|bar n|=raiz2^2+4^2+7^2=raiz4+16+49=raiz69approx8,3066
Daí o versor normal é
hat n=bar n|bar n|=l(2/8,3066,;4/8,3066,;7/8,3066r)

Passo 3

Agora calculamos a componente normal de bar B1:
B1n=bar B1cdothat n =15cdot2 +(-5)cdot4 +10cdot78,3066 =30 -20 +708,3066 approx9,63;mWb/m^2
A parte tangencial é simplesmente
bar B1t=bar B1 - B1n,hat n =l(15,-5,10r) -9,63,(0,2407,0,4814,0,8425) approx (12,68,,-9,64,,1,89)

Passo 4

As condições de contorno dizem:
  1. B2n=B1n (normal de bar B é contínua).
  2. H1t=H2timplies bar B1tmu1=bar B2tmu2implies bar B2t=mu2mu1,bar B1t
Como mu2/mu1=3/1,5=2,
bar B2t=2;bar B1tapprox(25,36,,-19,28,,3,78)
E a parte normal de bar B2 volta a ser
bar B2n=B2n,hat n =9,63,(0,2407,0,4814,0,8425) approx(2,32,,4,64,,8,11)

Passo 5

Agora juntamos tudo pra achar bar B2:
bar B2=bar B2n+bar B2t approx(2,32,4,64,8,11)+(25,36,-19,28,3,78) =(27,68,,-14,64,,11,89)
O módulo de bar B2 é
|bar B2| =raiz27,68^2+(-14,64)^2+11,89^2 approx33,50;mWb/m^2

Passo 6

Por fim, o ângulo theta entre bar B2 e a normal hat n satisfaz
costheta =bar B2cdothat n|bar B2| =B2n|bar B2| =9,6333,50 approx0,2875
Logo
theta=arccos(0,2875)approx73,3^circ

Resposta

O campo bar B2 faz um ângulo de aproximadamente 73,3^circ com a normal à interface.

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