Quando dois vetores
e
são desenhados a partir de um mesmo ponto, o ângulo entre eles é
. Use componentes de vetores para provar que dois vetores são comutativos tanto para soma quanto para produto escalar.
Passo 1
Blz! O enunciado pede pra provar, usando componentes, que:
- A soma de vetores é comutativa:
. - O produto escalar é comutativo:
.
Conteúdo que vamos usar:
- Como escrevemos um vetor em componentes (x e y).
- Como somar vetores componente a componente.
- Como calcular o produto escalar em componentes.
Passo 2
Vamos escrever os vetores em componentes no plano (poderia ser 3D, mas 2D já basta pra entender):
Aqui
e
são as “projeções” do
nos eixos
e
, e o mesmo pro
.
Passo 3
Para somar dois vetores a gente soma cada componente correspondente:
Se invertermos a ordem:
Mas soma de números reais é comutativa, ou seja
e
.
Logo
Logo
Passo 4
Agora o produto escalar. A definição em componentes é
Se invertermos a ordem:
E, de novo, em números reais
e
.
Logo
Logo
Resposta
-
. -
.
Pronto! A gente mostrou pela “quebra” em componentes que trocar A e B não muda nem a soma nem o produto escalar.