Quando dois vetores A e B são desenhados a partir de um mesmo ponto, o ângulo entre eles é phi. Use componentes de vetores para provar que dois vetores são comutativos tanto para soma quanto para produto escalar.

Passo 1

Blz! O enunciado pede pra provar, usando componentes, que:
  1. A soma de vetores é comutativa: .
  2. O produto escalar é comutativo: .
Conteúdo que vamos usar:
  • Como escrevemos um vetor em componentes (x e y).
  • Como somar vetores componente a componente.
  • Como calcular o produto escalar em componentes.

Passo 2

Vamos escrever os vetores em componentes no plano (poderia ser 3D, mas 2D já basta pra entender):
vec A = (Ax,,Ay) e vec B = (Bx,,By)
Aqui e são as “projeções” do nos eixos e , e o mesmo pro .

Passo 3

Para somar dois vetores a gente soma cada componente correspondente:
vec A + vec B = (Ax + Bx,; Ay + By)
Se invertermos a ordem:
vec B + vec A = (Bx + Ax,; By + Ay)
Mas soma de números reais é comutativa, ou seja vec A + vec B = (Ax + Bx,,Ay + By) =(Bx + Ax,,By + Ay) = vec B + vec A e .
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Passo 4

Agora o produto escalar. A definição em componentes é
vec A cdot vec B = Ax Bx + Ay By
Se invertermos a ordem:
vec B cdot vec A = Bx Ax + By Ay
E, de novo, em números reais vec A cdot vec B = Ax Bx + Ay By = Bx Ax + By Ay = vec B cdot vec A e .
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Resposta

  1. .
  2. .
Pronto! A gente mostrou pela “quebra” em componentes que trocar A e B não muda nem a soma nem o produto escalar.

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