Dois vetores A e B tem mesma magnitude. Para que a magnitude de A+B seja 100 vezes maior que a magnitude de A-B, qual deve ser o angulo entre A e B ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está no campo de Vetores, especificamente usando propriedades de adição e subtração de vetores e o cálculo de magnitudes. Precisamos encontrar o ângulo entre dois vetores A e B que têm a mesma magnitude, dado que a magnitude de A + B é 100 vezes maior que a magnitude de A - B.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a magnitude de A e B de a. Ou seja, |A| = |B| = a.

Passo 3

Sabemos que a magnitude da soma de dois vetores é dada por:
|A + B| = raiz|A|^2 + |B|^2 + 2|A||B|cos(theta)
E a magnitude da diferença é:
|A - B| = raiz|A|^2 + |B|^2 - 2|A||B|cos(theta)
Onde theta é o ângulo entre A e B.

Passo 4

De acordo com o enunciado:
|A + B| = 100 cdot |A - B|
Vamos elevar ambos os lados ao quadrado para simplificar:
|A + B|^2 = 100^2 cdot |A - B|^2
Substituindo as fórmulas das magnitudes:
(|A|^2 + |B|^2 + 2|A||B|cos(theta)) = 10,000 cdot (|A|^2 + |B|^2 - 2|A||B|cos(theta))

Passo 5

Como |A| = |B| = a, substituímos na equação:
(a^2 + a^2 + 2a^2cos(theta)) = 10,000 cdot (a^2 + a^2 - 2a^2cos(theta))
Simplificando:
2a^2(1 + cos(theta)) = 10,000 cdot 2a^2(1 - cos(theta))

Passo 6

Podemos dividir ambos os lados por 2a^2 (já que a neq 0):
1 + cos(theta) = 10,000 cdot (1 - cos(theta))

Passo 7

Expandindo o lado direito:
1 + cos(theta) = 10,000 - 10,000cos(theta)
Vamos reunir os termos com cos(theta):
1 + cos(theta) + 10,000cos(theta) = 10,000
1 + 10,001cos(theta) = 10,000

Passo 8

Isolando cos(theta):
10,001cos(theta) = 10,000 - 1
10,001cos(theta) = 9,999
cos(theta) = 9,99910,001

Passo 9

Agora, para encontrar o ângulo theta, usamos a função arccos:
theta = arccos(9,99910,001)
Calculando esse valor:
9,99910,001 approx 0,9998
Então,
theta approx arccos(0,9998)

Resposta

O ângulo entre A e B é aproximadamente 1,15 graus.

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