Dois vetores dados por boldsymbol{a}=3 \boldsymbol{i}+5 \boldsymbol{j} e boldsymbol{b} =2 \boldsymbol{i}+4 \boldsymbol{j}. Determine
boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no plano \boldsymbol{a}=3\,\boldsymbol{i}+5\,\boldsymbol{j} e \boldsymbol{b}=2\,\boldsymbol{i}+4\,\boldsymbol{j}
e pede o produto vetorial \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}.
O conteúdo aqui é o produto vetorial em \mathbb{R}^3: mesmo vetores no plano xy podem ser vistos com componente z=0.

Passo 2

Escrevemos os vetores no formato de componentes em \mathbb{R}^3:
\boldsymbol{a}=\langle 3,\,5,\,0\rangle, \quad \boldsymbol{b}=\langle 2,\,4,\,0\rangle.

Passo 3

Aplicamos a definição via determinante
\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}\\\\ 3 & 5 & 0\\\\ 2 & 4 & 0 \end{vmatrix}.
As componentes \boldsymbol{i} e \boldsymbol{j} envolvem subdeterminantes com linha de zeros, logo só sobra a componente em \boldsymbol{k}.

Passo 4

Calculamos a componente em \boldsymbol{k}:
(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{k} =3\cdot4 \;-\;5\cdot2 =12-10 =2.
Portanto
\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} =2\,\boldsymbol{k}.

Resposta

\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} =2\,\boldsymbol{k}.

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