Dê dois vetores diretores distintos e quatro pontos distintos da reta r que tem equação vetorial
P=(1,2,0)+t(1,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar dois vetores diretores diferentes e quatro pontos distintos de uma reta que está representada pela equação vetorial:
P = (1,2,0) + t(1,1,1)
Esse exercício está dentro do conteúdo de geometria analítica, especificamente sobre vetores e equações de retas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender o que é um vetor diretor e como determinar pontos que estão na reta usando a equação vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o vetor diretor. Em uma equação vetorial de reta como essa, o vetor que está sendo multiplicado pelo parâmetro $ t $ é o vetor diretor da reta. No nosso caso, o vetor diretor é:
t
Esse vetor indica a direção na qual a reta se estende.

Passo 3

Agora, o exercício pede dois vetores diretores distintos. Isso significa que precisamos encontrar dois vetores que apontem na mesma direção da reta, mas que sejam diferentes entre si. Uma maneira simples de fazer isso é multiplicar o vetor diretor original por diferentes constantes.
Por exemplo:
  1. Multiplicando por 2:
d1 = 2 times (1,1,1) = (2,2,2)
  1. Multiplicando por 3:
d2 = 3 times (1,1,1) = (3,3,3)
Esses dois vetores, $ \vec{d_1} $ e $ \vec{d_2} $, são diferentes do vetor original $ \vec{d} $ e também diferentes entre si, mas todos eles apontam na mesma direção da reta.

Passo 4

Agora, vamos encontrar quatro pontos distintos na reta. A equação vetorial nos diz que qualquer ponto na reta pode ser obtido variando o valor de $ t $. Vamos escolher quatro valores diferentes para $ t $ e calcular os pontos correspondentes.
  1. Para $ t = 0 $:
t
  1. Para $ t = 1 $:
t
  1. Para $ t = 2 $:
t = 0
  1. Para $ t = 3 $:
P1 = (1,2,0) + 0 times (1,1,1) = (1,2,0)
Esses quatro pontos, $ P_1, P_2, P_3 $ e $ P_4 $, estão todos na reta $ r $ e são distintos entre si.

Resposta

Dois vetores diretores distintos são $ \vec{d_1} = (2,2,2) $ e $ \vec{d_2} = (3,3,3) $. Quatro pontos distintos da reta $ r $ são $ P_1 = (1,2,0) $, $ P_2 = (2,3,1) $, $ P_3 = (3,4,2) $ e $ P_4 = (4,5,3) $.

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