Questão 6. Resolva as EDO’s:
x d x+y d y=x d y+y d xx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
x,dx + y,dy = x,dy + y,dxx^2 + y^2
Estamos estudando equações diferenciais exatas e vamos precisar aplicar o teste de exatidão e encontrar uma função potencial Psi(x,y) cuja diferencial seja a forma dada.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por (x^2+y^2) para obter uma forma diferencial homogênea e sem denominadores. Assim,
(x^2+y^2)(x,dx + y,dy) = x,dy + y,dx

Passo 3

Reorganizando tudo para obter
(x^3 + x y^2 - y),dx + (x^2 y + y^3 - x),dy = 0,

Passo 4

Temos então uma forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 com
M(x,y)=x^3 + x y^2 - y,
N(x,y)=x^2 y + y^3 - x
Verificamos a exatidão checando
partial Mpartial y=2xy-1, partial Npartial x=2xy-1,
logo é exata.

Passo 5

Para achar a função potencial Psi(x,y), integramos M em relação a x:
Psi(x,y)=integral(x^3 + x y^2 - y),dx=x^44+x^2y^22-x y+h(y)
Derivamos Psi em relação a y e igualamos a N:
partialPsipartial y=x^2y - x + h'(y)=x^2y+y^3-x
Daí h'(y)=y^3, logo h(y)=y^44+C.

Passo 6

A solução geral implícita é
Psi(x,y)=x^44+x^2y^22-x y+y^44=C
Multiplicando por 4, fica
$$(x2+y2)^2-4xy=C’.

Resposta

(x2+y2)^2 - 4,x,y = C

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