Considere o estado:
calcule o valor esperado das energias, para esse ESTADO.
Obs:
são constantes reais
antes: MOSTRE QUE
Resposta!
antes: MOSTRE QUE
Passo 1
O enunciado dá o estado linear
onde
são constantes reais, e o Hamiltoniano
As tarefas são:
- mostrar que
(ou seja, que é autofunção de com autovalor ); - calcular o valor esperado da energia para o estado dado.
Informações relevantes e hipóteses necessárias (assumidas porque a questão está bem formulada):
- os
são autofunções do Hamiltoniano (modos estacionários) e formam um conjunto ortonormado: ; - os
satisfazem uma equação do tipo (isso é típico de problemas do tipo poço infinito ou modos senoidais); para chamamos o parâmetro de ; - os autovalores correspondentes são
(em particular para ).
Não se resolve nada ainda aqui, apenas listei o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Como mostrar que
.
Explicação didática curta sobre autofunção/autovalor:
- Dizemos que
é autofunção de um operador com autovalor se . No caso do Hamiltoniano diferencial dado, as autofunções satisfazem uma equação diferencial de segunda ordem.
Usando a forma diferencial: suponha que a terceira autofunção satisfaça
que é a forma padrão para modos estacionários senoidais. Então, aplicando
em
obtemos
Substituindo a relação
vem
Portanto
é autofunção de
com autovalor
ou seja
Comentário amigo: se no seu exercício
tem forma explícita (por exemplo
em um poço de comprimento
), basta derivar duas vezes e identificar
concretamente; o raciocínio é o mesmo.
Passo 3
Definição e estratégia para calcular o valor esperado da energia.
Definição: para um estado (possivelmente não normalizado)
o valor esperado de
é
No nosso caso representamos o estado (vou usar
para o vetor estado correspondente ao dado)
com
.
Regra útil (e muito usada em provas): as autofunções
são ortonormais, isto é
Além disso, aplicando
sobre cada autofunção dá
.
Passo 4
Cálculo detalhado do numerador
.
Expanda explicitamente:
Como
são reais, seus complexos conjugados são eles mesmos. Usando linearidade da forma bilinear e que
, cada termo do tipo
vira
. Assim o produto fica
Mas usando ortonormalidade, os termos cruzados desaparecem porque
se
. Nos termos diagonais cada produto
. Portanto
Passo 5
Cálculo detalhado do denominador
e conclusão.
O denominador é simplesmente a norma ao quadrado:
Expandindo e usando ortonormalidade, os termos cruzados desaparecem e ficamos com
Assim o valor esperado da energia é
Observação prática e motivacional: se o estado já estiver normalizado (isto é, se
), a fórmula simplifica para
Se o seu enunciado pede primeiro normalizar dividindo por
, então os novos coeficientes serão
, etc., e a expressão acima dá exatamente
quando os
foram reescritos como os coeficientes normalizados.
Resposta
Se o estado for normalizado (
), então