Considere o estado:
4=a \psi_{1}+b \psi_{2}+c \psi_{3}
calcule o valor esperado das energias, para esse ESTADO.
Obs: a, b, c são constantes reais
antes: MOSTRE QUE \hat{H} \psi_{3}=E_{3} \psi_{3}
\hat{H}=-\frac{\pi^{2}}{2 m} \cdot \frac{d^{2}}{d x^{2}}
\Rightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \rightarrow Resposta!
a^{2} E_{1}+b^{2} E_{2}+c^{2} E_{3}

Passo 1

O enunciado dá o estado linear
4 = a \psi_{1} + b \psi_{2} + c \psi_{3},
onde a,b,c são constantes reais, e o Hamiltoniano
\hat{H} = -\frac{\pi^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}}{dx^{2}}.
As tarefas são:
  • mostrar que \hat{H}\psi_{3}=E_{3}\psi_{3} (ou seja, que \psi_{3} é autofunção de \hat{H} com autovalor E_{3});
  • calcular o valor esperado da energia para o estado dado.
Informações relevantes e hipóteses necessárias (assumidas porque a questão está bem formulada):
  • os \psi_{n} são autofunções do Hamiltoniano (modos estacionários) e formam um conjunto ortonormado: \langle \psi_{i}|\psi_{j}\rangle=\delta_{ij};
  • os \psi_{n} satisfazem uma equação do tipo \psi_{n}''(x)=-k_{n}^{2}\psi_{n}(x) (isso é típico de problemas do tipo poço infinito ou modos senoidais); para n=3 chamamos o parâmetro de k_{3};
  • os autovalores correspondentes são E_{n} (em particular E_{3} para \psi_{3}).
Não se resolve nada ainda aqui, apenas listei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Como mostrar que \hat{H}\psi_{3}=E_{3}\psi_{3}.
Explicação didática curta sobre autofunção/autovalor:
  • Dizemos que \psi é autofunção de um operador \hat{O} com autovalor \lambda se \hat{O}\psi=\lambda\psi. No caso do Hamiltoniano diferencial dado, as autofunções satisfazem uma equação diferencial de segunda ordem.
Usando a forma diferencial: suponha que a terceira autofunção satisfaça
\psi_{3}''(x) = -k_{3}^{2}\,\psi_{3}(x),
que é a forma padrão para modos estacionários senoidais. Então, aplicando \hat{H} em \psi_{3} obtemos
\hat{H}\psi_{3} = -\frac{\pi^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}}{dx^{2}}\psi_{3} = -\frac{\pi^{2}}{2m}\,\psi_{3}''(x).
Substituindo a relação \psi_{3}''(x)=-k_{3}^{2}\psi_{3}(x) vem
\hat{H}\psi_{3} = -\frac{\pi^{2}}{2m}\,(-k_{3}^{2})\,\psi_{3} = \frac{\pi^{2}k_{3}^{2}}{2m}\,\psi_{3}.
Portanto \psi_{3} é autofunção de \hat{H} com autovalor
E_{3} = \frac{\pi^{2}k_{3}^{2}}{2m},
ou seja
\hat{H}\psi_{3}=E_{3}\psi_{3}.
Comentário amigo: se no seu exercício \psi_{3} tem forma explícita (por exemplo \sin(3\pi x/L) em um poço de comprimento L), basta derivar duas vezes e identificar k_{3} concretamente; o raciocínio é o mesmo.

Passo 3

Definição e estratégia para calcular o valor esperado da energia.
Definição: para um estado (possivelmente não normalizado) |\Psi\rangle o valor esperado de \hat{H} é
\langle \hat{H} \rangle = \frac{\langle \Psi | \hat{H} | \Psi \rangle}{\langle \Psi | \Psi \rangle}.
No nosso caso representamos o estado (vou usar |\Psi\rangle para o vetor estado correspondente ao dado)
|\Psi\rangle = a|\psi_{1}\rangle + b|\psi_{2}\rangle + c|\psi_{3}\rangle,
com a,b,c\in\mathbb{R}.
Regra útil (e muito usada em provas): as autofunções |\psi_{n}\rangle são ortonormais, isto é
\langle \psi_{i} | \psi_{j}\rangle = \delta_{ij}.
Além disso, aplicando \hat{H} sobre cada autofunção dá \hat{H}|\psi_{n}\rangle = E_{n}|\psi_{n}\rangle.

Passo 4

Cálculo detalhado do numerador \langle \Psi|\hat{H}|\Psi\rangle.
Expanda explicitamente:
\langle \Psi|\hat{H}|\Psi\rangle = \langle a\psi_{1}+b\psi_{2}+c\psi_{3}\,|\,\hat{H}\,(a\psi_{1}+b\psi_{2}+c\psi_{3})\rangle.
Como a,b,c são reais, seus complexos conjugados são eles mesmos. Usando linearidade da forma bilinear e que \hat{H}\psi_{n}=E_{n}\psi_{n}, cada termo do tipo \hat{H}\psi_{n} vira E_{n}\psi_{n}. Assim o produto fica
\langle \Psi|\hat{H}|\Psi\rangle = a^{2}\langle \psi_{1}|E_{1}\psi_{1}\rangle + b^{2}\langle \psi_{2}|E_{2}\psi_{2}\rangle + c^{2}\langle \psi_{3}|E_{3}\psi_{3}\rangle
\quad +\; \text{(termos cruzados do tipo }\langle\psi_{i}|E_{j}\psi_{j}\rangle\text{ com }i\neq j).
Mas usando ortonormalidade, os termos cruzados desaparecem porque \langle\psi_{i}|\psi_{j}\rangle=0 se i\neq j. Nos termos diagonais cada produto \langle\psi_{n}|\psi_{n}\rangle=1. Portanto
\langle \Psi|\hat{H}|\Psi\rangle = a^{2}E_{1} + b^{2}E_{2} + c^{2}E_{3}.

Passo 5

Cálculo detalhado do denominador \langle\Psi|\Psi\rangle e conclusão.
O denominador é simplesmente a norma ao quadrado:
\langle \Psi|\Psi\rangle = \langle a\psi_{1}+b\psi_{2}+c\psi_{3}\,|\,a\psi_{1}+b\psi_{2}+c\psi_{3}\rangle.
Expandindo e usando ortonormalidade, os termos cruzados desaparecem e ficamos com
\langle \Psi|\Psi\rangle = a^{2} + b^{2} + c^{2}.
Assim o valor esperado da energia é
\langle \hat{H}\rangle = \frac{a^{2}E_{1} + b^{2}E_{2} + c^{2}E_{3}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.
Observação prática e motivacional: se o estado já estiver normalizado (isto é, se a^{2}+b^{2}+c^{2}=1), a fórmula simplifica para
\langle \hat{H}\rangle = a^{2}E_{1} + b^{2}E_{2} + c^{2}E_{3}.
Se o seu enunciado pede primeiro normalizar dividindo por \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}, então os novos coeficientes serão a/\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}, etc., e a expressão acima dá exatamente a^{2}E_{1}+b^{2}E_{2}+c^{2}E_{3} quando os a,b,c foram reescritos como os coeficientes normalizados.

Resposta

\langle \hat{H}\rangle = \frac{a^{2}E_{1} + b^{2}E_{2} + c^{2}E_{3}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.
Se o estado for normalizado ( a^{2}+b^{2}+c^{2}=1), então
\langle \hat{H}\rangle = a^{2}E_{1} + b^{2}E_{2} + c^{2}E_{3}.

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