Dois vetores são dados por A=-3 i+4 j e B=2 i+3 j. Encontre (a) A times B e (b) o ângulo entre A e B.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no plano:
A = -3,hatimath + 4,hatjmath, B = 2,hatimath + 3,hatjmath
e pede (a) o produto vetorial AtimesB (que em 2D fica perpendicular ao plano, na direção hat k) e (b) o ângulo entre eles, usando produto escalar e normas.

Passo 2

Para achar AtimesB, usamos a expansão em coordenadas:
AtimesB = l(Ax,Bx,0;Ay,By,0;0,0,1r) = (0,0,Ax By - Ay Bx)
Aqui Ax=-3, Ay=4, Bx=2, By=3, logo
Ax By - Ay Bx = (-3)cdot 3 - 4cdot 2 = -9 - 8 = -17
Então
AtimesB = -17,hat k

Passo 3

Para o ângulo theta, primeiro calculamos o produto escalar:
AcdotB = Ax Bx + Ay By = (-3)cdot 2 + 4cdot 3 = -6 + 12 = 6
Em seguida, as normas:
|A| = raiz(-3)^2 + 4^2 = 5, |B| = raiz2^2 + 3^2 = raiz13
Então
costheta = AcdotB|A|;|B| = 65,raiz13

Passo 4

Isolando theta,
theta = arccos!l(tfrac65raiz13r)
Numericamente, tfrac65raiz13approx 0,3329, daí
theta approx 70,6^circ

Resposta

(a) AtimesB = -17,hat k
(b) theta = arccos!l(tfrac65raiz13r)approx 70,6^circ

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