(RESNICK 20163 13) Quais das expressões vetoriais a seguir estão corretas? O que está errado nas expressões incorretas? (a) A cdot(B times C ) (b) A times(B cdot C) (c) A cdot(B cdot C) (d) A times(B times C) (e) A+(B cdot C) (f) A+(B times C) (g) 5+A (h) 5+(B cdot C) (i) 5+(B times C) (j) (A cdot B)+(B cdot C)

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais expressões vetoriais são definidas e apontar o que há de errado nas que não são. O conteúdo envolve entender os tipos de operações em álgebra vetorial: produto escalar, produto vetorial e soma, e saber que cada operação exige operandos de tipos compatíveis (vetor ou escalar) e produz um resultado de tipo bem definido.

Passo 2

Devemos usar as seguintes regras básicas:
  1. O produto escalar XcdotY exige dois vetores e retorna um escalar.
  2. O produto vetorial XtimesY exige dois vetores e retorna um vetor.
  3. A soma U+V só é válida se U e V forem ambos vetores ou ambos escalares; não se pode somar vetor com escalar.

Passo 3

Analisando (a), (b) e (c):
  • (a) Acdot(BtimesC): dentro do parêntese BtimesC é vetor, e o produto escalar com A é válido.
  • (b) Atimes(BcdotC): BcdotC é escalar, e não faz sentido cruzar vetor com escalar.
  • (c) Acdot(BcdotC): BcdotC é escalar, e não faz sentido escalarmente “dotar” vetor com escalar.

Passo 4

Analisando (d), (e) e (f):
  • (d) Atimes(BtimesC): BtimesC é vetor, e o produto vetorial com A é válido.
  • (e) A+(BcdotC): BcdotC é escalar, e não se pode somar vetor com escalar.
  • (f) A+(BtimesC): BtimesC é vetor, e somar dois vetores é válido.

Passo 5

Analisando (g), (h), (i) e (j):
  • (g) 5+A: soma de escalar com vetor é inválida.
  • (h) 5+(BcdotC): BcdotC é escalar, somar dois escalares é válido.
  • (i) 5+(BtimesC): BtimesC é vetor, não faz sentido somar escalar com vetor.
  • (j) (AcdotB)+(BcdotC): cada produto escalar é escalar, e somar dois escalares é válido.

Resposta

Expressões corretas:
(a) Acdot(BtimesC)
(d) Atimes(BtimesC)
(f) A+(BtimesC)
(h) 5+(BcdotC)
(j) (AcdotB)+(BcdotC)
Erros nas incorretas:
(b) tenta cruzar vetor com escalar.
(c) tenta escalar vetor com escalar.
(e) soma vetor com escalar.
(g) soma escalar com vetor.
(i) soma escalar com vetor.

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