Encontre o ângulo entre a=3 imath-4 jmath e b=-2 imath-3 jmath
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\theta=\cos ^{-1}\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|}\right)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre dois vetores: a = 3 imath - 4 jmath e b = -2 imath - 3 jmath. Para isso, vamos usar a matéria de Álgebra Vetorial, especificamente o produto escalar entre vetores. Vamos precisar calcular o produto escalar, as magnitudes dos vetores e, por fim, aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar ( a cdot b). O produto escalar entre dois vetores a = ax imath + ay jmath e b = bx imath + by jmath é dado por:
a cdot b = ax cdot bx + ay cdot by
Substituindo os valores:
a cdot b = (3) cdot (-2) + (-4) cdot (-3) = -6 + 12 = 6

Passo 3

Agora, vamos calcular as magnitudes (ou módulos) de cada vetor. A magnitude de um vetor v = vx imath + vy jmath é dada por:
|v| = raizvx^2 + vy^2
Vamos calcular |a|:
|a| = raiz3^2 + (-4)^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
E |b|:
|b| = raiz(-2)^2 + (-3)^2 = raiz4 + 9 = raiz13 approx 3,6055

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes dos vetores, podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo theta entre eles:
theta = cos^-1(a cdot b|a| cdot |b|)
Substituindo os valores que calculamos:
theta = cos^-1(65 cdot 3,6055) = cos^-1(618,0275) approx cos^-1(0,3333)

Passo 5

Agora, usamos uma calculadora para encontrar o valor do cos^-1(0,3333). Isso nos dá:
theta approx 70,5288^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores a e b é aproximadamente 70,53^circ.

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