Dois vetores são dados por \vec{a}=3 \hat{i}+5 \hat{j} e \vec{b}=2 \hat{i}+4 \hat{j}. Calcule:
a) \vec{a} \times \vec{b}= ?
b) \vec{a} \cdot \vec{b}= ?
c) (\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{b}= ?

Passo 1

O enunciado dá os vetores no plano \vec{a}=3\hat{i}+5\hat{j} e \vec{b}=2\hat{i}+4\hat{j}
e pede (a) o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b}, (b) o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{b} e (c) (\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{b}.
Para isso vamos usar as definições em componentes:
  • O produto vetorial em \mathbb{R}^3 dado por determinante.
  • O produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z.
    No plano, interpretamos \vec{a}=(3,5,0) e \vec{b}=(2,4,0) em 3D.

Passo 2

Para \vec{a}\times\vec{b} montamos o determinante
\vec{a}\times\vec{b} =\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\\\ 3 & 5 & 0 \\\\ 2 & 4 & 0 \end{vmatrix} =(3\cdot4-5\cdot2)\,\hat{k} =2\,\hat{k}.

Passo 3

Para \vec{a}\cdot\vec{b} aplicamos a definição
\vec{a}\cdot\vec{b} =3\cdot2+5\cdot4 =6+20 =26.

Passo 4

Primeiro somamos \vec{a}+\vec{b}:
\vec{a}+\vec{b} =(3+2)\,\hat{i}+(5+4)\,\hat{j} =5\,\hat{i}+9\,\hat{j}.
Em seguida,
(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{b} =5\cdot2+9\cdot4 =10+36 =46.

Resposta

a) \vec{a}\times\vec{b}=2\hat{k}
b) \vec{a}\cdot\vec{b}=26
c) (\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{b}=46

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