39 Mostre que num sistema de coordenadas destrógiro:
\begin{aligned} & \hat{i} \cdot \hat{i}=\hat{j} \cdot \hat{j}=\hat{k} \cdot \hat{k}=1 \\\ & \hat{i} \cdot \hat{j}=\hat{j} \cdot \hat{k}=\hat{k} \cdot \hat{i}=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num sistema de coordenadas destrógiro cujos vetores de base são \hat{i},\hat{j},\hat{k}, esses vetores formam uma base ortonormal, isto é, cada um tem norma unitária e são mutuamente perpendiculares. Para isso vamos usar a definição de produto escalar:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}.

Passo 2

Cada vetor de base é unitário, logo
|\hat{i}|=|\hat{j}|=|\hat{k}|=1.
Quando aplicamos a fórmula do produto escalar para o mesmo vetor \theta=0^\circ e \cos0^\circ=1, obtemos
\hat{i}\cdot\hat{i}=|\hat{i}|^2\cos0^\circ=1\cdot1\cdot1=1,
e, de modo análogo,
\hat{j}\cdot\hat{j}=1, \quad \hat{k}\cdot\hat{k}=1.

Passo 3

Para dois vetores de base distintos o ângulo entre eles é 90^\circ, e \cos90^\circ=0. Assim,
\hat{i}\cdot\hat{j}=|\hat{i}|\,|\hat{j}|\cos90^\circ=1\cdot1\cdot0=0,
e, do mesmo modo,
\hat{j}\cdot\hat{k}=0, \quad \hat{k}\cdot\hat{i}=0.

Resposta

\hat{i}\cdot\hat{i}=\hat{j}\cdot\hat{j}=\hat{k}\cdot\hat{k}=1, \quad \hat{i}\cdot\hat{j}=\hat{j}\cdot\hat{k}=\hat{k}\cdot\hat{i}=0.

Exercícios relacionados