Escreva a função em coordenadas polares
. Quais são as partes real e imaginária da função?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever a função $ f(z) = \left(z + \frac{1}{z}\right)^{25} + z $ em coordenadas polares e depois identificar as partes real e imaginária dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares e como elas se relacionam com números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo $ z $ pode ser escrito em coordenadas polares como $ z = r e^{i\theta} $, onde $ r $ é o módulo (distância do ponto até a origem) e $ \theta $ é o argumento (ângulo com o eixo real positivo).
Passo 3
Vamos começar substituindo $ z $ por $ r e^{i\theta} $ na função:
Simplificando a fração, temos:
Então a função fica:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão dentro do parêntese. Usando a propriedade dos expoentes, podemos somar os termos:
Lembrando que $ \cos(-\theta) = \cos\theta $ e $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $, temos:
Agrupando os termos reais e imaginários:
Passo 5
Agora, vamos elevar esse resultado à 25ª potência. Para simplificar, vamos chamar:
Então, a expressão fica:
Para expandir $ (A + iB)^{25} $, usaríamos o binômio de Newton, mas isso ficaria muito complicado. Vamos optar por manter a expressão na forma polar elevada à potência.
Passo 6
Lembrando que $ (re{i\theta})n = r^n e^{i n \theta} $, podemos tentar reescrever $ A + iB $ em forma polar. Primeiro, calculamos o módulo:
Simplificando:
E o argumento:
Passo 7
Então, $ (A + iB)^{25} $ fica:
Agora, somamos $ r e^{i\theta} $ à expressão acima:
Resposta
As partes real e imaginária da função $ f(z) = \left(z + \frac{1}{z}\right)^{25} + z $ em coordenadas polares são dadas por:
onde $ \phi = \arctan\left(\frac{\left(r - \frac{1}{r}\right) \sin\theta}{\left(r + \frac{1}{r}\right) \cos\theta}\right) $.