Escreva a função em coordenadas polares f(z)=(z+1z)^25+z. Quais são as partes real e imaginária da função?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever a função $ f(z) = \left(z + \frac{1}{z}\right)^{25} + z $ em coordenadas polares e depois identificar as partes real e imaginária dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares e como elas se relacionam com números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo $ z $ pode ser escrito em coordenadas polares como $ z = r e^{i\theta} $, onde $ r $ é o módulo (distância do ponto até a origem) e $ \theta $ é o argumento (ângulo com o eixo real positivo).

Passo 3

Vamos começar substituindo $ z $ por $ r e^{i\theta} $ na função:
z
Simplificando a fração, temos:
r e^itheta
Então a função fica:
f(z) = (r e^itheta + 1r e^itheta)^25 + r e^itheta

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro do parêntese. Usando a propriedade dos expoentes, podemos somar os termos:
r e^itheta + 1r e^-itheta = r (costheta + isintheta) + 1r (cos(-theta) + isin(-theta))
Lembrando que $ \cos(-\theta) = \cos\theta $ e $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $, temos:
cos(-theta) = costheta
Agrupando os termos reais e imaginários:
sin(-theta) = -sintheta

Passo 5

Agora, vamos elevar esse resultado à 25ª potência. Para simplificar, vamos chamar:
A = (r + 1r) costheta
B = (r - 1r) sintheta
Então, a expressão fica:
(A + iB)^25
Para expandir $ (A + iB)^{25} $, usaríamos o binômio de Newton, mas isso ficaria muito complicado. Vamos optar por manter a expressão na forma polar elevada à potência.

Passo 6

Lembrando que $ (re{i\theta})n = r^n e^{i n \theta} $, podemos tentar reescrever $ A + iB $ em forma polar. Primeiro, calculamos o módulo:
(re^itheta)^n = r^n e^i n theta
Simplificando:
A + iB
E o argumento:
|A + iB| = raizA^2 + B^2 = raiz((r + 1r) costheta)^2 + ((r - 1r) sintheta)^2

Passo 7

Então, $ (A + iB)^{25} $ fica:
(A + iB)^25
Agora, somamos $ r e^{i\theta} $ à expressão acima:
( raizr^2 + 1r^2 + 2 cos(2theta) )^25 e^i 25 phi

Resposta

As partes real e imaginária da função $ f(z) = \left(z + \frac{1}{z}\right)^{25} + z $ em coordenadas polares são dadas por:
f(z) = (z + 1z)^25 + z
Parte Real = (raizr^2 + 1r^2 + 2 cos(2theta))^25 cos(25phi) + r costheta á
onde $ \phi = \arctan\left(\frac{\left(r - \frac{1}{r}\right) \sin\theta}{\left(r + \frac{1}{r}\right) \cos\theta}\right) $.

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