Dado que \hat{u} é um vetor unitário na direçio de \vec{\partial}=(3,4), verifique que |\hat{u}|=1.

Passo 1

O enunciado dá que \hat{u} é um vetor unitário na direção do vetor \vec{\partial}=(3,4). A tarefa é verificar que |\hat{u}|=1. Informações relevantes: o vetor diretor \vec{\partial} tem componentes 3 e 4; \hat{u} é o vetor na mesma direção, mas com comprimento 1.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que vamos usar): o comprimento (norma) de um vetor (a,b) em \mathbb{R}^2 é
|(a,b)|=\sqrt{a^2+b^2},
onde a e b são as componentes do vetor. Aqui a=3 e b=4, então o comprimento de \vec{\partial} é
|\vec{\partial}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

Passo 3

Definição prática de vetor unitário na direção de um vetor: dado um vetor não nulo \vec{v}, o vetor unitário na sua direção é
\hat{v}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|},
ou seja, dividimos cada componente de \vec{v} pelo seu comprimento. Aplicando isso a \vec{\partial}=(3,4) obtemos
\hat{u}=\frac{\vec{\partial}}{|\vec{\partial}|}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
Explicando: dividir o vetor pelo seu comprimento “normaliza” o comprimento para 1.

Passo 4

Agora calculamos explicitamente o comprimento de \hat{u} usando a fórmula da norma:
|\hat{u}|=\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2} =\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}} =\sqrt{\frac{25}{25}} =\sqrt{1}=1.
Detalhe das contas: \left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{9}{25} e \left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{16}{25}; somando dá \frac{25}{25}=1.

Passo 5

Comentário geral (para você levar pra prova): a razão pela qual isso sempre funciona é que, para todo vetor não nulo \vec{v},
\left|\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\right|=\frac{|\vec{v}|}{|\vec{v}|}=1.
Ou seja, normalizar um vetor garante comprimento unitário — aqui vimos o cálculo concreto com (3,4).

Resposta

|\hat{u}|=1

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