Dois vetores,
e
, estão no plano
. Os módulos dos vetores são 4,50 unidades e 7,30 unidades, respectivamente, e eles estão orientados a
e
, respectivamente, no sentido anti-horário em relaçāo ao semieixo
positivo. Resolva das duas formas ensinadas na sala de aula e encontrar os valores de (a)
,
e
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (isto eu peguei do próprio enunciado):
- O vetor
tem módulo , unidades e direção (medida anti-horária a partir do semieixo positivo ). - O vetor
tem módulo , unidades e direção (medida anti-horária a partir do semieixo positivo ).
O que o problema pede: - Determinar
e (ou seja, suas componentes no plano ). - Calcular o produto escalar
.
Obs.: o enunciado pede que se resolva “das duas formas ensinadas na sala de aula” — espera-se (i) usar as componentes cartesianas e (ii) usar a fórmula com módulos e o cosseno do ângulo entre os vetores. As duas formas serão apresentadas e comparadas.
Passo 2
Primeiro lembrete/conceito importante (muito útil na prova): para um vetor no plano com módulo
e direção
(medida a partir do eixo
positivo, no sentido anti-horário), as componentes cartesianas são dadas por
O que isso significa:
-
é a razão entre a projeção do vetor no eixo e o módulo do vetor. -
é a razão entre a projeção no eixo e o módulo.
Assim basta calculare do ângulo dado e multiplicar pelo módulo para obter as componentes.
Passo 3
Aplicando a fórmula às componentes de
. Aqui
e
.
Primeiro use a relação de ângulo de referência: . Então
Primeiro use a relação de ângulo de referência:
Usando valores numéricos (tabelas ou calculadora trigonométrica; estou mostrando valores decimais para você poder aplicar na prova se tiver tabela):
Agora as componentes:
Portanto
Passo 4
Agora
:
e
. Aplicando a mesma fórmula:
As componentes são
Portanto
Passo 5
Resumo das componentes obtidas (primeira forma: componente x e y):
Comentário: essas são as projeções dos vetores nos eixos
e
. Note que
é negativo porque
está abaixo do eixo
.
Passo 6
Agora calcular o produto escalar pela primeira forma (usando componentes). Conceito:
Para vetores em ,
Para vetores em
Substituindo os números (vou mostrar a conta):
Calcule os termos separadamente:
Somando:
(Arredondei mantendo coerência com as casas decimais usadas nas componentes.)
Passo 7
Segunda forma (verificação): produto escalar usando módulos e ângulo entre vetores. Conceito e fórmula:
onde
é o ângulo entre os vetores. Para direções dadas por
e
, pode-se tomar
Aqui
Como
é uma função par,
. Também
. Numericamente,
Agora calcule:
Viu? É o mesmo resultado (diferenças pequenas vêm de arredondamento). Isso valida o cálculo.
Passo 8
Interpretação rápida (motivar): o produto escalar negativo indica que o componente de
na direção de
é, em média, contrário — os vetores têm uma orientação que faz com que a projeção dê sinal negativo (ou seja, formam um ângulo maior que
entre si).