Dois vetores, \vec{r} e \vec{s}, estão no plano x y. Os módulos dos vetores são 4,50 unidades e 7,30 unidades, respectivamente, e eles estão orientados a 320^{\circ} e 85,0^{\circ}, respectivamente, no sentido anti-horário em relaçāo ao semieixo x positivo. Resolva das duas formas ensinadas na sala de aula e encontrar os valores de (a) \vec{r}, \vec{s} e \vec{r} \cdot \vec{s}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (isto eu peguei do próprio enunciado):
  • O vetor \vec{r} tem módulo \,4,50, unidades e direção \,320^\circ (medida anti-horária a partir do semieixo positivo x).
  • O vetor \vec{s} tem módulo \,7,30, unidades e direção \,85,0^\circ (medida anti-horária a partir do semieixo positivo x).
    O que o problema pede:
  • Determinar \vec{r} e \vec{s} (ou seja, suas componentes no plano xy).
  • Calcular o produto escalar \vec{r}\cdot\vec{s}.
    Obs.: o enunciado pede que se resolva “das duas formas ensinadas na sala de aula” — espera-se (i) usar as componentes cartesianas e (ii) usar a fórmula com módulos e o cosseno do ângulo entre os vetores. As duas formas serão apresentadas e comparadas.

Passo 2

Primeiro lembrete/conceito importante (muito útil na prova): para um vetor no plano com módulo R e direção \theta (medida a partir do eixo x positivo, no sentido anti-horário), as componentes cartesianas são dadas por
\vec{v} = (v_x, v_y) = \big(R\cos\theta,\; R\sin\theta\big).
O que isso significa:
  • \cos\theta é a razão entre a projeção do vetor no eixo x e o módulo do vetor.
  • \sin\theta é a razão entre a projeção no eixo y e o módulo.
    Assim basta calcular \cos e \sin do ângulo dado e multiplicar pelo módulo para obter as componentes.

Passo 3

Aplicando a fórmula às componentes de \vec{r}. Aqui |\vec{r}|=4,50 e \theta_r=320^\circ.
Primeiro use a relação de ângulo de referência: 320^\circ = 360^\circ-40^\circ. Então
\cos(320^\circ)=\cos(40^\circ)\quad\text{e}\quad \sin(320^\circ)=-\sin(40^\circ).
Usando valores numéricos (tabelas ou calculadora trigonométrica; estou mostrando valores decimais para você poder aplicar na prova se tiver tabela):
\cos(320^\circ)\approx 0,7660444431,\qquad \sin(320^\circ)\approx -0,6427876097.
Agora as componentes:
r_x = 4,50\cdot\cos(320^\circ) \approx 4,50\cdot 0,7660444431 \approx 3,4472,
r_y = 4,50\cdot\sin(320^\circ) \approx 4,50\cdot (-0,6427876097) \approx -2,8925.
Portanto
\vec{r}\approx(3,4472,\;-2,8925).

Passo 4

Agora \vec{s}: |\vec{s}|=7,30 e \theta_s=85,0^\circ. Aplicando a mesma fórmula:
\cos(85,0^\circ)\approx 0,0871557427,\qquad \sin(85,0^\circ)\approx 0,9961946981.
As componentes são
s_x = 7,30\cdot\cos(85,0^\circ) \approx 7,30\cdot 0,0871557427 \approx 0,6362,
s_y = 7,30\cdot\sin(85,0^\circ) \approx 7,30\cdot 0,9961946981 \approx 7,2722.
Portanto
\vec{s}\approx(0,6362,\;7,2722).

Passo 5

Resumo das componentes obtidas (primeira forma: componente x e y):
\vec{r}\approx(3,4472,\;-2,8925), \qquad \vec{s}\approx(0,6362,\;7,2722).
Comentário: essas são as projeções dos vetores nos eixos x e y. Note que r_y é negativo porque 320^\circ está abaixo do eixo x.

Passo 6

Agora calcular o produto escalar pela primeira forma (usando componentes). Conceito:
Para vetores em \mathbb{R}^2,
\vec{r}\cdot\vec{s}=r_x s_x + r_y s_y.
Substituindo os números (vou mostrar a conta):
\vec{r}\cdot\vec{s}\approx (3,4472)(0,6362) + (-2,8925)(7,2722).
Calcule os termos separadamente:
(3,4472)(0,6362)\approx 2,1932,
(-2,8925)(7,2722)\approx -21,0354.
Somando:
\vec{r}\cdot\vec{s}\approx 2,1932 - 21,0354 \approx -18,8422.
(Arredondei mantendo coerência com as casas decimais usadas nas componentes.)

Passo 7

Segunda forma (verificação): produto escalar usando módulos e ângulo entre vetores. Conceito e fórmula:
\vec{r}\cdot\vec{s}=|\vec{r}||\vec{s}|\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre os vetores. Para direções dadas por \theta_r e \theta_s, pode-se tomar
\varphi=\theta_s-\theta_r.
Aqui
\varphi=85,0^\circ-320^\circ=-235^\circ.
Como \cos é uma função par, \cos(-235^\circ)=\cos(235^\circ). Também \cos(235^\circ)=\cos(180^\circ+55^\circ)=-\cos(55^\circ). Numericamente,
\cos(\varphi)\approx\cos(-235^\circ)\approx -0,5735764364.
Agora calcule:
|\vec{r}||\vec{s}|=4,50\cdot7,30=32,85,
\vec{r}\cdot\vec{s}=32,85\cdot(-0,5735764364)\approx -18,8420.
Viu? É o mesmo resultado (diferenças pequenas vêm de arredondamento). Isso valida o cálculo.

Passo 8

Interpretação rápida (motivar): o produto escalar negativo indica que o componente de \vec{r} na direção de \vec{s} é, em média, contrário — os vetores têm uma orientação que faz com que a projeção dê sinal negativo (ou seja, formam um ângulo maior que 90^\circ entre si).

Resposta

\vec{r}\approx(3,4472,\;-2,8925)
\vec{s}\approx(0,6362,\;7,2722)
\vec{r}\cdot\vec{s}\approx-18,8420

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