Questão 11
Num sistema estelar binário, duas estrelas, com massas
e
, descrevem uma órbita circular em torno do centro de massa delas. A estrela de massa
possui uma órbita com raio
e a estrela de massa
possui uma órbita com raio
.
a) Mostre que a razão entre os raios orbitais das duas estrelas é inversamente proporcional à razão entre suas massas.
b) Explique por que as duas estrelas possuem o mesmo período orbital e mostre que o período T é dado por
.
c) Em um certo sistema binário de órbitas circulares, a primeira estrela (Alfa) possui velocidade orbital igual a
, enquanto a segunda (Beta) possui velocidade igual a
e ambas possuem um período orbital de 137 dias. Calcule a massa de cada uma das estrelas.
a) Mostre que a razão entre os raios orbitais das duas estrelas é inversamente proporcional à razão entre suas massas.
b) Explique por que as duas estrelas possuem o mesmo período orbital e mostre que o período T é dado por
c) Em um certo sistema binário de órbitas circulares, a primeira estrela (Alfa) possui velocidade orbital igual a
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Duas estrelas com massas
e . - As órbitas são circulares em torno do centro de massa do sistema.
- A estrela de massa
descreve uma órbita de raio . - A estrela de massa
descreve uma órbita de raio . - No item (c) são dados valores numéricos (pegados do enunciado):
- velocidade da estrela Alfa (primeira):
. - velocidade da estrela Beta (segunda):
. - período orbital comum:
.
- velocidade da estrela Alfa (primeira):
O que o enunciado pede:
(a) Mostrar que a razão entre os raios orbitais é inversamente proporcional à razão entre as massas, ou seja provar que .
(b) Explicar por que as duas estrelas têm o mesmo período orbital e deduzir a fórmula
(a) Mostrar que a razão entre os raios orbitais é inversamente proporcional à razão entre as massas, ou seja provar que
(b) Explicar por que as duas estrelas têm o mesmo período orbital e deduzir a fórmula
(c) Usando os dados numéricos de velocidades e período, calcular as massas de cada estrela.
Passo 2
Entender o centro de massa e a relação entre
e
.
Conceito importante (explicado de forma simples): o centro de massa (CM) de um sistema de duas partículas fica numa posição tal que as distâncias das massas ao CM são inversamente proporcionais às massas. Mais formalmente, colocando o CM na origem, as posições escalares (distâncias) satisfazem a condição de equilíbrio de momento:
Essa igualdade vem diretamente da definição de centro de massa para duas massas colineares: o momento (massa vezes distância) à esquerda do CM deve ser igual ao da direita para que o CM fique entre elas.
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Isso prova o pedido do item (a): a razão dos raios é inversamente proporcional à razão das massas.
Passo 3
Explicação física por que ambas as estrelas têm o mesmo período orbital.
As duas estrelas estão ligadas gravitacionalmente e descrevem órbitas circulares em volta do mesmo centro de massa. Em movimento circular ligado, “girar em torno do mesmo centro” significa que ambas têm a mesma velocidade angular
(mesma taxa de variação do ângulo) — caso contrário não haveria uma configuração fixa relativa e a distância entre elas mudaria no tempo. O período
é dado por
. Portanto, ter a mesma
implica ter o mesmo
. Em palavras: completar uma volta em torno do CM leva o mesmo tempo para as duas porque elas estão sempre alinhadas radialmente em relação ao CM e giram juntas.
Passo 4
Derivação da expressão do período
.
Passo a passo com forças e acelerações:
- Denotar a separação entre as estrelas por
, isto é
- A força gravitacional entre as duas massas é, pela lei da gravitação de Newton,
onde
é a constante gravitacional.
- Essa força fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular de cada estrela em torno do CM. Para a estrela 1, a força centrípeta vale
onde
é a velocidade angular comum e
é o raio da sua órbita.
- Igualando a força gravitacional à força centrípeta atuando sobre a estrela 1:
Cancelar
em ambos os lados:
Passo 5
Substituir
em função de
e massas para eliminar
.
Usando a relação do centro de massa do Passo 2, podemos escrever
Substituindo esse
na equação do Passo 4,
Podemos cancelar
(assumindo
) e reorganizar:
Passo 6
Relacionar
com o período
e obter a fórmula pedida.
Sabendo que
, substituímos em
:
Isolando
,
Lembrando que
, obtemos exatamente
como solicitado no item (b).
Comentário didático rápido: essa fórmula é a forma geral da terceira lei de Kepler para duas massas comparáveis (não assume que uma massa é desprezível) — aparece sempre na dinâmica de dois corpos.
Passo 7
Preparar a resolução numérica do item (c): converter unidades e relacionamentos úteis.
Dados numéricos (peguei estes valores do enunciado):
Relações úteis:
- Velocidade tangencial em movimento circular:
. - Como ambas têm a mesma
, a razão das velocidades é a razão dos raios:
Mas do Passo 2 sabemos
. Logo:
Isso dá a razão entre as massas diretamente a partir das velocidades. No caso numérico,
Portanto
Passo 8
Calcular a separação
a partir das velocidades e do período.
Cada raio pode ser obtido por
. Então
Substituindo números (tudo em SI):
Fazendo as contas:
Passo 9
Calcular a massa total
usando a forma rearranjada da lei de Kepler (do Passo 6).
Da fórmula
seguimos
Usando
,
e
,
(na conta aproximada:
). Essa é a massa total do sistema.
Passo 10
Encontrar
e
a partir da razão
e da massa total.
Como
, temos
E
Opcional (para comparação): em massas solares (
),