Questão 11

Num sistema estelar binário, duas estrelas, com massas M_{1} e M_{2}, descrevem uma órbita circular em torno do centro de massa delas. A estrela de massa M_{1} possui uma órbita com raio R_{1} e a estrela de massa M_{2} possui uma órbita com raio R_{2}.
a) Mostre que a razão entre os raios orbitais das duas estrelas é inversamente proporcional à razão entre suas massas.
b) Explique por que as duas estrelas possuem o mesmo período orbital e mostre que o período T é dado por T=\frac{2 \pi\left(R_{1}+R_{2}\right)^{3 / 2}}{\sqrt{G\left(M_{1}+M_{2}\right)}}.
c) Em um certo sistema binário de órbitas circulares, a primeira estrela (Alfa) possui velocidade orbital igual a 36,0 \mathrm{~km} / \mathrm{s}, enquanto a segunda (Beta) possui velocidade igual a 12,0 \mathrm{~km} / \mathrm{s} e ambas possuem um período orbital de 137 dias. Calcule a massa de cada uma das estrelas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Duas estrelas com massas \,M_{1} e \,M_{2}.
  • As órbitas são circulares em torno do centro de massa do sistema.
  • A estrela de massa \,M_{1} descreve uma órbita de raio \,R_{1}.
  • A estrela de massa \,M_{2} descreve uma órbita de raio \,R_{2}.
  • No item (c) são dados valores numéricos (pegados do enunciado):
    • velocidade da estrela Alfa (primeira): v_{1}=36{,}0\\ \mathrm{km/s}.
    • velocidade da estrela Beta (segunda): v_{2}=12{,}0\\ \mathrm{km/s}.
    • período orbital comum: T=137\\ \text{dias}.
O que o enunciado pede:
(a) Mostrar que a razão entre os raios orbitais é inversamente proporcional à razão entre as massas, ou seja provar que \dfrac{R_{1}}{R_{2}}=\dfrac{M_{2}}{M_{1}}.
(b) Explicar por que as duas estrelas têm o mesmo período orbital e deduzir a fórmula
T=\frac{2\pi\left(R_{1}+R_{2}\right)^{3/2}}{\sqrt{G\left(M_{1}+M_{2}\right)}}.
(c) Usando os dados numéricos de velocidades e período, calcular as massas de cada estrela.

Passo 2

Entender o centro de massa e a relação entre R_{1} e R_{2}.
Conceito importante (explicado de forma simples): o centro de massa (CM) de um sistema de duas partículas fica numa posição tal que as distâncias das massas ao CM são inversamente proporcionais às massas. Mais formalmente, colocando o CM na origem, as posições escalares (distâncias) satisfazem a condição de equilíbrio de momento:
M_{1}R_{1}=M_{2}R_{2}.
Essa igualdade vem diretamente da definição de centro de massa para duas massas colineares: o momento (massa vezes distância) à esquerda do CM deve ser igual ao da direita para que o CM fique entre elas.
Dividindo ambos os lados por M_{1}R_{2} obtemos
\frac{R_{1}}{R_{2}}=\frac{M_{2}}{M_{1}}.
Isso prova o pedido do item (a): a razão dos raios é inversamente proporcional à razão das massas.

Passo 3

Explicação física por que ambas as estrelas têm o mesmo período orbital.
As duas estrelas estão ligadas gravitacionalmente e descrevem órbitas circulares em volta do mesmo centro de massa. Em movimento circular ligado, “girar em torno do mesmo centro” significa que ambas têm a mesma velocidade angular \omega (mesma taxa de variação do ângulo) — caso contrário não haveria uma configuração fixa relativa e a distância entre elas mudaria no tempo. O período T é dado por T=2\pi/\omega. Portanto, ter a mesma \omega implica ter o mesmo T. Em palavras: completar uma volta em torno do CM leva o mesmo tempo para as duas porque elas estão sempre alinhadas radialmente em relação ao CM e giram juntas.

Passo 4

Derivação da expressão do período T.
Passo a passo com forças e acelerações:
  • Denotar a separação entre as estrelas por r, isto é
r=R_{1}+R_{2}.
  • A força gravitacional entre as duas massas é, pela lei da gravitação de Newton,
F=\frac{G\,M_{1}M_{2}}{r^{2}},
onde G é a constante gravitacional.
  • Essa força fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular de cada estrela em torno do CM. Para a estrela 1, a força centrípeta vale
F_{\text{centr},1}=M_{1}\omega^{2}R_{1},
onde \omega é a velocidade angular comum e R_{1} é o raio da sua órbita.
  • Igualando a força gravitacional à força centrípeta atuando sobre a estrela 1:
\frac{G\,M_{1}M_{2}}{r^{2}}=M_{1}\omega^{2}R_{1}.
Cancelar M_{1} em ambos os lados:
\frac{G\,M_{2}}{r^{2}}=\omega^{2}R_{1}.

Passo 5

Substituir R_{1} em função de r e massas para eliminar R_{1}.
Usando a relação do centro de massa do Passo 2, podemos escrever
R_{1}=\frac{M_{2}}{M_{1}+M_{2}}\,r.
Substituindo esse R_{1} na equação do Passo 4,
\frac{G\,M_{2}}{r^{2}}=\omega^{2}\left(\frac{M_{2}}{M_{1}+M_{2}}\,r\right).
Podemos cancelar M_{2} (assumindo M_{2}\neq0) e reorganizar:
\frac{G}{r^{2}}=\omega^{2}\frac{r}{M_{1}+M_{2}} \quad\Longrightarrow\quad \omega^{2}=\frac{G\left(M_{1}+M_{2}\right)}{r^{3}}.

Passo 6

Relacionar \omega com o período T e obter a fórmula pedida.
Sabendo que \omega=2\pi/T, substituímos em \omega^{2}=\dfrac{G(M_{1}+M_{2})}{r^{3}}:
\left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2}=\frac{G\left(M_{1}+M_{2}\right)}{r^{3}}.
Isolando T,
T^{2}=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{G\left(M_{1}+M_{2}\right)} \quad\Longrightarrow\quad T=\frac{2\pi\,r^{3/2}}{\sqrt{G\left(M_{1}+M_{2}\right)}}.
Lembrando que r=R_{1}+R_{2}, obtemos exatamente
T=\frac{2\pi\left(R_{1}+R_{2}\right)^{3/2}}{\sqrt{G\left(M_{1}+M_{2}\right)}},
como solicitado no item (b).
Comentário didático rápido: essa fórmula é a forma geral da terceira lei de Kepler para duas massas comparáveis (não assume que uma massa é desprezível) — aparece sempre na dinâmica de dois corpos.

Passo 7

Preparar a resolução numérica do item (c): converter unidades e relacionamentos úteis.
Dados numéricos (peguei estes valores do enunciado):
v_{1}=36{,}0\\ \mathrm{km/s}=3{,}60\times10^{4}\\ \mathrm{m/s},
v_{2}=12{,}0\\ \mathrm{km/s}=1{,}20\times10^{4}\\ \mathrm{m/s},
T=137\\ \text{dias}=137\times86400\\ \mathrm{s}=11836800\\ \mathrm{s}.
Relações úteis:
  • Velocidade tangencial em movimento circular: v=\omega R.
  • Como ambas têm a mesma \omega, a razão das velocidades é a razão dos raios:
\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{R_{1}}{R_{2}}.
Mas do Passo 2 sabemos \dfrac{R_{1}}{R_{2}}=\dfrac{M_{2}}{M_{1}}. Logo:
\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{M_{2}}{M_{1}}.
Isso dá a razão entre as massas diretamente a partir das velocidades. No caso numérico,
\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{3{,}60\times10^{4}}{1{,}20\times10^{4}}=3.
Portanto
\frac{M_{2}}{M_{1}}=3\quad\Longrightarrow\quad M_{2}=3M_{1}.

Passo 8

Calcular a separação r=R_{1}+R_{2} a partir das velocidades e do período.
Cada raio pode ser obtido por R=vT/(2\pi). Então
r=R_{1}+R_{2}=\frac{v_{1}T}{2\pi}+\frac{v_{2}T}{2\pi}=\frac{(v_{1}+v_{2})T}{2\pi}.
Substituindo números (tudo em SI):
r=\frac{(3{,}60\times10^{4}+1{,}20\times10^{4})\times11836800}{2\pi} =\frac{4{,}80\times10^{4}\times11836800}{2\pi}.
Fazendo as contas:
r\approx9{,}048268\times10^{10}\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Calcular a massa total M_{\text{tot}}=M_{1}+M_{2} usando a forma rearranjada da lei de Kepler (do Passo 6).
Da fórmula
T^{2}=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{G(M_{1}+M_{2})}
seguimos
M_{1}+M_{2}=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{G\,T^{2}}.
Usando r\approx9{,}048268\times10^{10}\\ \mathrm{m}, T=11836800\\ \mathrm{s} e G=6{,}67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}},
M_{1}+M_{2}\approx3{,}13\times10^{30}\\ \mathrm{kg}.
(na conta aproximada: M_{1}+M_{2}\approx3{,}128\times10^{30}\\ \mathrm{kg}). Essa é a massa total do sistema.

Passo 10

Encontrar M_{1} e M_{2} a partir da razão M_{2}=3M_{1} e da massa total.
Como M_{1}+M_{2}=M_{1}+3M_{1}=4M_{1}, temos
M_{1}=\frac{M_{1}+M_{2}}{4}\approx\frac{3{,}128\times10^{30}}{4}\approx7{,}82\times10^{29}\\ \mathrm{kg}.
E
M_{2}=3M_{1}\approx3\times7{,}82\times10^{29}\approx2{,}35\times10^{30}\\ \mathrm{kg}.
Opcional (para comparação): em massas solares ( M_{\odot}\approx1{,}9885\times10^{30}\\ \mathrm{kg}),
M_{1}\approx0{,}394\,M_{\odot},\qquad M_{2}\approx1{,}18\,M_{\odot}.

Resposta

M_{\text{Alfa}}=7{,}82\times10^{29}\\ \mathrm{kg}
M_{\text{Beta}}=2{,}35\times10^{30}\\ \mathrm{kg}

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