Questão 2

Em 1968, a nave espacial Apollo 8 foi colocada numa órbita circular em torno da Lua, a uma altitude de 113 km acima da superfície. O período observado dessa órbita foi de 1 hora e 59 minutos. Sabendo que o raio da Lua é de 1.738 km , utilize esses dados para calcular:
a) a massa da Lua;
b) velocidade de escape da Lua;
c) A relação entre velocidade de escape da Terra e da Lua.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos:
  • Dados fornecidos:
    • altitude da órbita: h=113\\ \text{km}.
    • período da órbita: T=1\\ \text{h}\\\ 59\\ \text{min}.
    • raio da Lua: R_{\text{Lua}}=1{,}738\\ \text{km}.
  • O que o enunciado pede:
    a) calcular a massa da Lua;
    b) calcular a velocidade de escape da Lua;
    c) calcular a relação entre a velocidade de escape da Terra e a da Lua.

Passo 2

Converter tudo para unidades SI (m, s, kg), para poder usar as fórmulas de gravitação:
  • Converter o raio da Lua: R_{\text{Lua}}=1{,}738\\ \text{km}=1{,}738\times10^{3}\\ \text{m}=1{,}738\times10^{3}\\ \text{m}.Mas é mais conveniente usar em metros com potência: R_{\text{Lua}}=1{,}738\times10^{6}\\ \text{m}.
  • Converter a altitude: h=113\\ \text{km}=113\times10^{3}\\ \text{m}=1{,}13\times10^{5}\\ \text{m}.
  • Raio da órbita (distância ao centro da Lua): r=R_{\text{Lua}}+h=1{,}738\times10^{6}+1{,}13\times10^{5}=1{,}851\times10^{6}\\ \text{m}.
  • Converter o período: T=1\\ \text{h}\\\ 59\\ \text{min}=3600\\ \text{s}+59\times60\\ \text{s}=3600+3540=7140\\ \text{s}.

Passo 3

Lembrar da fórmula que liga período orbital a massa do corpo central (órbita circular): para um satélite em órbita circular de raio r em torno de uma massa M,
T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{G M}},
onde G é a constante gravitacional universal. Podemos isolar M:
M=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{G T^{2}}.
Explicando a fórmula: ela vem de igualar a força gravitacional F_{\text{grav}}=\dfrac{G M m}{r^{2}} com a força centrípeta F_{\text{cent}}=\dfrac{m v^{2}}{r}, usar v=2\pi r/T e eliminar v e a massa do satélite m.
Usarei G=6{,}67430\times10^{-11}\\ \text{m}^{3}\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}.

Passo 4

Substituir os valores e calcular M passo a passo.
  • Calcular r^{3}: r=1{,}851\times10^{6}\\ \text{m}\quad\Rightarrow\quad r^{3}=(1{,}851\times10^{6})^{3}=1{,}851^{3}\times10^{18}.Num cálculo direto: 1{,}851^{3}\approx6{,}341898\quad\Rightarrow\quad r^{3}\approx6{,}341898\times10^{18}\\ \text{m}^{3}.
  • Calcular o numerador 4\pi^{2}r^{3}: 4\pi^{2}\approx39{,}4784176\quad\Rightarrow\quad 4\pi^{2}r^{3}\approx39{,}4784176\times6{,}341898\times10^{18}\approx2{,}50368\times10^{20}.
  • Calcular o denominador G T^{2}: T^{2}=7140^{2}=50\,979\,600\\ \text{s}^{2}=5{,}09796\times10^{7}\\ \text{s}^{2},
G T^{2}=6{,}67430\times10^{-11}\times5{,}09796\times10^{7}\approx3{,}40251\times10^{-3}.
  • Finalmente: M=\frac{2{,}50368\times10^{20}}{3{,}40251\times10^{-3}}\approx7{,}36\times10^{22}\\ \text{kg}.

Passo 5

Interpretar o resultado e ajustar a apresentação: com arredondamento razoável (3 algarismos significativos),
M_{\text{Lua}}\approx7{,}35\times10^{22}\\ \text{kg}.
Comentário encorajador: esse valor está muito próximo do valor aceito na literatura ( \approx7{,}347\times10^{22}\\ \text{kg}), então a conta bate bem — mandou bem por olhar os dados direitinho!

Passo 6

Agora calcular a velocidade de escape da Lua. A fórmula da velocidade de escape na superfície é
v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2 G M}{R}},
onde M é a massa do corpo e R é o raio do corpo (aqui, R_{\text{Lua}}=1{,}738\times10^{6}\\ \text{m}). Explicando: a velocidade de escape é aquela energia cinética necessária para que a energia total (cinética + potencial gravitacional) seja zero quando a partícula chega ao infinito; igualando \tfrac{1}{2}mv^{2}=GMm/R chega-se à fórmula acima.

Passo 7

Substituir os valores e calcular v_{\text{esc,Lua}}:
  • Usar M\approx7{,}35\times10^{22}\\ \text{kg}, R=1{,}738\times10^{6}\\ \text{m}, G=6{,}67430\times10^{-11}.
  • Calcular o argumento da raiz: \frac{2GM}{R}\approx\frac{2\times6{,}67430\times10^{-11}\times7{,}35\times10^{22}}{1{,}738\times10^{6}}\approx5{,}65\times10^{6}\\ (\text{m}^{2}\,\text{s}^{-2}).
  • Portanto v_{\text{esc,Lua}}=\sqrt{5{,}65\times10^{6}}\approx2{,}38\times10^{3}\\ \text{m/s}=2{,}38\\ \text{km/s}.

Passo 8

Por fim, a relação entre as velocidades de escape da Terra e da Lua. Duas formas: (i) usar o valor conhecido da velocidade de escape da Terra v_{\text{esc,Terra}}\approx11{,}186\\ \text{m/s} e dividir por v_{\text{esc,Lua}}; ou (ii) usar a fórmula e massas/raios:
\frac{v_{\text{esc,Terra}}}{v_{\text{esc,Lua}}} =\sqrt{\frac{2G M_{\text{Terra}}/R_{\text{Terra}}}{2G M_{\text{Lua}}/R_{\text{Lua}}}} =\sqrt{\frac{M_{\text{Terra}}/R_{\text{Terra}}}{M_{\text{Lua}}/R_{\text{Lua}}}}.
Usando valores padrão da Terra M_{\text{Terra}}=5{,}97219\times10^{24}\\ \text{kg} e R_{\text{Terra}}=6{,}371\times10^{6}\\ \text{m}, e nosso M_{\text{Lua}} e R_{\text{Lua}}, obtemos numericamente:
\frac{v_{\text{esc,Terra}}}{v_{\text{esc,Lua}}}\approx4{,}71.
Isto significa que a velocidade de escape da Terra é cerca de 4{,}7 vezes maior que a da Lua.

Passo 9

Pequeno resumo para memorização (modo amigo):
  • Usar sempre a fórmula do período T=2\pi\sqrt{r^{3}/(GM)} para achar massas a partir de órbitas circulares.
  • Usar v_{\text{esc}}=\sqrt{2GM/R} para velocidades de escape.
  • Para razões de velocidades de escape, pode cancelar 2G e usar \sqrt{M/R} relativo.

Resposta

a) M_{\text{Lua}}\approx7{,}35\times10^{22}\\ \text{kg}
b) v_{\text{esc,Lua}}\approx2{,}38\times10^{3}\\ \text{m/s} (≈ 2{,}38\\ \text{km/s})
c) \dfrac{v_{\text{esc,Terra}}}{v_{\text{esc,Lua}}}\approx4{,}71

Exercícios relacionados