Questão 2
Em 1968, a nave espacial Apollo 8 foi colocada numa órbita circular em torno da Lua, a uma altitude de 113 km acima da superfície. O período observado dessa órbita foi de 1 hora e 59 minutos. Sabendo que o raio da Lua é de 1.738 km , utilize esses dados para calcular:
a) a massa da Lua;
b) velocidade de escape da Lua;
c) A relação entre velocidade de escape da Terra e da Lua.
a) a massa da Lua;
b) velocidade de escape da Lua;
c) A relação entre velocidade de escape da Terra e da Lua.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos:
- Dados fornecidos:
- altitude da órbita:
. - período da órbita:
. - raio da Lua:
.
- altitude da órbita:
- O que o enunciado pede:
a) calcular a massa da Lua;
b) calcular a velocidade de escape da Lua;
c) calcular a relação entre a velocidade de escape da Terra e a da Lua.
Passo 2
Converter tudo para unidades SI (m, s, kg), para poder usar as fórmulas de gravitação:
- Converter o raio da Lua:
Mas é mais conveniente usar em metros com potência: . - Converter a altitude:
- Raio da órbita (distância ao centro da Lua):
- Converter o período:
Passo 3
Lembrar da fórmula que liga período orbital a massa do corpo central (órbita circular): para um satélite em órbita circular de raio
em torno de uma massa
,
onde
é a constante gravitacional universal. Podemos isolar
:
Explicando a fórmula: ela vem de igualar a força gravitacional
com a força centrípeta
, usar
e eliminar
e a massa do satélite
.
Usarei
.
Passo 4
Substituir os valores e calcular
passo a passo.
- Calcular
: Num cálculo direto: - Calcular o numerador
: - Calcular o denominador
:
- Finalmente:
Passo 5
Interpretar o resultado e ajustar a apresentação: com arredondamento razoável (3 algarismos significativos),
Comentário encorajador: esse valor está muito próximo do valor aceito na literatura (
), então a conta bate bem — mandou bem por olhar os dados direitinho!
Passo 6
Agora calcular a velocidade de escape da Lua. A fórmula da velocidade de escape na superfície é
onde
é a massa do corpo e
é o raio do corpo (aqui,
). Explicando: a velocidade de escape é aquela energia cinética necessária para que a energia total (cinética + potencial gravitacional) seja zero quando a partícula chega ao infinito; igualando
chega-se à fórmula acima.
Passo 7
Substituir os valores e calcular
:
- Usar
, , . - Calcular o argumento da raiz:
- Portanto
Passo 8
Por fim, a relação entre as velocidades de escape da Terra e da Lua. Duas formas: (i) usar o valor conhecido da velocidade de escape da Terra
e dividir por
; ou (ii) usar a fórmula e massas/raios:
Usando valores padrão da Terra
e
, e nosso
e
, obtemos numericamente:
Isto significa que a velocidade de escape da Terra é cerca de
vezes maior que a da Lua.
Passo 9
Pequeno resumo para memorização (modo amigo):
- Usar sempre a fórmula do período
para achar massas a partir de órbitas circulares. - Usar
para velocidades de escape. - Para razões de velocidades de escape, pode cancelar
e usar relativo.
Resposta
a)
b) (≈
)
c)
b)
c)