Forca e Camno Elétrico -
Deflexão de elétrons em um tubo de raios catódicos (CRT)
Em dispositivos como os antigos monitores CRT e osciloscópios, feixes de elétrons são desviados por campos elétricos gerados entre eletrodos. Considere um modelo simplificado em que dois eletrodos são representados por cargas puntuais fixas.
As cargas estão posicionadas da seguinte forma:
-
-
em
Um elétron (carga
) passa pelo ponto
Considere:
Perguntas
a) Determine o campo elétrico resultante no ponto
, em forma vetorial.
b) Calcule a força elétrica resultante que atua sobre o elétron nesse ponto.
c) Determine o módulo da força
ângulo em relação ao eixo x .
d) Sabendo que a massa do elétron é
, calcule a aceleração instantânea do elétron ao passar pelo ponto
.
e) (Aplicação tecnológica) Explique como a inversão do sinal das cargas
e
afetaria a trajetória do feixe de elétrons em um dispositivo desse tipo.
Em dispositivos como os antigos monitores CRT e osciloscópios, feixes de elétrons são desviados por campos elétricos gerados entre eletrodos. Considere um modelo simplificado em que dois eletrodos são representados por cargas puntuais fixas.
b) Calcule a força elétrica resultante que atua sobre o elétron nesse ponto.
c) Determine o módulo da força
d) Sabendo que a massa do elétron é
e) (Aplicação tecnológica) Explique como a inversão do sinal das cargas
Passo 1
O enunciado dá as posições e cargas dos dois eletrodos (modelados por cargas pontuais) e a posição do elétron. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
-
localizado em . -
localizado em . - Ponto onde passa o elétron:
. - Carga do elétron:
. - Constante eletrostática:
. - Massa do elétron:
.
Perguntas pedidas:
a) Campo elétrico resultante em , em forma vetorial.
b) Força elétrica resultante sobre o elétron em .
c) Módulo da força e ângulo em relação ao eixo .
d) Aceleração instantânea do elétron em .
e) Se inverter o sinal de e
, como isso afetaria a trajetória do feixe de elétrons (explicação qualitativa)?
a) Campo elétrico resultante em
b) Força elétrica resultante sobre o elétron em
c) Módulo da força e ângulo em relação ao eixo
d) Aceleração instantânea do elétron em
e) Se inverter o sinal de
Passo 2
Ferramentas físicas e fórmulas que vou usar (explicação didática):
- Campo elétrico devido a uma carga pontual
em um ponto é dado por (lei de Coulomb, forma vetorial)
onde
é o vetor que vai da carga até o ponto
, e
é o módulo desse vetor. Explicando cada termo:
-
é a constante eletrostática. -
é a carga que gera o campo. -
dá a direção (apontando de para ) e o decaimento com a distância ( em módulo). - Princípio da superposição: o campo total em
é soma vetorial dos campos produzidos por cada carga:
- Força sobre uma carga de prova
num campo :
- Aceleração pelo 2º lei de Newton:
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo, calculando primeiro os vetores posição e as componentes, depois somando.
Passo 3
Cálculo dos vetores posição relativos e das distâncias:
- Posição de
: . Posição de : . Ponto : . - Vetor de
até :
- Vetor de
até :
- Módulo de ambos (são simétricos):
- E o fator
que aparece na expressão do campo:
Passo 4
Cálculo dos campos
e
usando a fórmula:
Componentes:
- Para
e :
- Para
e :
Agora somando componente a componente. Observe que as componentes
vão se cancelar porque:
-
, -
,
logo.
As componentes
somam no mesmo sentido:
-
, -
,
logo.
Passo 5
Cálculo numérico do campo resultante (substituindo números):
- Prefator:
- Dividindo por
:
- Como os componentes
se cancelaram, o campo total é puramente horizontal (e positivo em ):
Comentário intuitivo: o arranjo com
do lado esquerdo e
do lado direito cria um campo apontando para a direita em
.
Passo 6
Força elétrica sobre o elétron:
Substituindo
e
:
- Módulo da força:
- Direção / ângulo em relação ao eixo
: a componente é negativa e não há componente . Isso significa que a força aponta exatamente ao longo do eixo negativo , ou seja, o ângulo com o eixo (medido a partir de ) é (ou radianos).
Passo 7
Aceleração instantânea do elétron (segunda lei de Newton):
Cálculo numérico:
- Módulo:
.
O sinal negativo indica aceleração para a esquerda (mesma direção da força).
Passo 8
Resposta qualitativa sobre inverter os sinais de
e
(aplicação tecnológica):
- Trocar os sinais de
e significa que o campo elétrico em mudaria de direção (inverteria o vetor ), porque cada contribuição de carga mudaria de sinal. - Como a força sobre o elétron é
, e é fixo e negativo, inverter inverte também a direção da força. Logo, o defelexão do feixe seria para o lado oposto ao original. - Em termos práticos num CRT ou osciloscópio: inverter a polaridade das placas (ou das cargas que as simulam) inverte a deflexão do feixe; a magnitude da deflexão (para o mesmo módulo das cargas) permanece a mesma, apenas o sentido muda.
Resposta
a)
b)
c) ângulo
(direção ao longo de
).
d) (módulo
).
e) Inverter os sinais de e
invertiria o sentido do campo elétrico e, portanto, inverteria a direção da força sobre o elétron — o feixe seria desviado para o lado oposto; a magnitude da deflexão permaneceria (para mesmas magnitudes de carga).
b)
c)
d)
e) Inverter os sinais de