Forca e Camno Elétrico -
Deflexão de elétrons em um tubo de raios catódicos (CRT)
Em dispositivos como os antigos monitores CRT e osciloscópios, feixes de elétrons são desviados por campos elétricos gerados entre eletrodos. Considere um modelo simplificado em que dois eletrodos são representados por cargas puntuais fixas.
As cargas estão posicionadas da seguinte forma:
  • q_{1}=+6 \mu \mathrm{Cem}-1,0 \mathrm{~m}
  • q_{2}=-6 \mu C em 1,0 m
Um elétron (carga q_{e}=-1,6 \times 10^{-19} \mathrm{C} ) passa pelo ponto P=(0,2) m
Considere:
k=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{C}^{2} \mathrm{k}=9 \times 109 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} 2 / \mathrm{C} 2

Perguntas

a) Determine o campo elétrico resultante no ponto P, em forma vetorial.
b) Calcule a força elétrica resultante que atua sobre o elétron nesse ponto.
c) Determine o módulo da força \mathrm{e} \circ ângulo em relação ao eixo x .
d) Sabendo que a massa do elétron é m=9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}, calcule a aceleração instantânea do elétron ao passar pelo ponto P.
e) (Aplicação tecnológica) Explique como a inversão do sinal das cargas q_{1} e q_{2} afetaria a trajetória do feixe de elétrons em um dispositivo desse tipo.

Passo 1

O enunciado dá as posições e cargas dos dois eletrodos (modelados por cargas pontuais) e a posição do elétron. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
  • q_{1}=+6{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C} localizado em (-1{,}0\\ \mathrm{m},\,0).
  • q_{2}=-6{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C} localizado em (+1{,}0\\ \mathrm{m},\,0).
  • Ponto onde passa o elétron: P=(0,\;2{,}0\\ \mathrm{m}).
  • Carga do elétron: q_{e}=-1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Constante eletrostática: k=9{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
  • Massa do elétron: m=9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
Perguntas pedidas:
a) Campo elétrico resultante em P, em forma vetorial.
b) Força elétrica resultante sobre o elétron em P.
c) Módulo da força e ângulo em relação ao eixo x.
d) Aceleração instantânea do elétron em P.
e) Se inverter o sinal de q_{1} e q_{2}, como isso afetaria a trajetória do feixe de elétrons (explicação qualitativa)?

Passo 2

Ferramentas físicas e fórmulas que vou usar (explicação didática):
  • Campo elétrico devido a uma carga pontual q em um ponto P é dado por (lei de Coulomb, forma vetorial)
\vec{E}(\vec{r})=k\,q\,\dfrac{\vec{r}}{r^{3}},
onde \vec{r}=\vec{r}_{P}-\vec{r}_{q} é o vetor que vai da carga até o ponto P, e r=|\vec{r}| é o módulo desse vetor. Explicando cada termo:
  • k é a constante eletrostática.
  • q é a carga que gera o campo.
  • \vec{r}/r^{3} dá a direção (apontando de q para P) e o decaimento com a distância ( 1/r^{2} em módulo).
  • Princípio da superposição: o campo total em P é soma vetorial dos campos produzidos por cada carga:
\vec{E}_{\text{total}}=\vec{E}_{1}+\vec{E}_{2}.
  • Força sobre uma carga de prova q_{e} num campo \vec{E}:
\vec{F}=q_{e}\,\vec{E}.
  • Aceleração pelo 2º lei de Newton:
\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo, calculando primeiro os vetores posição e as componentes, depois somando.

Passo 3

Cálculo dos vetores posição relativos e das distâncias:
  • Posição de q_{1}: \vec{r}_{1}=(-1{,}0,\;0). Posição de q_{2}: \vec{r}_{2}=(+1{,}0,\;0). Ponto P: \vec{r}_{P}=(0,\;2{,}0).
  • Vetor de q_{1} até P:
\vec{r}_{1P}=\vec{r}_{P}-\vec{r}_{1}=(0-(-1{,}0),\;2{,}0-0)=(1{,}0,\;2{,}0).
  • Vetor de q_{2} até P:
\vec{r}_{2P}=\vec{r}_{P}-\vec{r}_{2}=(0-1{,}0,\;2{,}0-0)=(-1{,}0,\;2{,}0).
  • Módulo de ambos (são simétricos):
r_{1}=r_{2}= \sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}\\ \mathrm{m}\approx2{,}236\\ \mathrm{m}.
  • E o fator r^{3} que aparece na expressão do campo:
r^{3}=(\sqrt{5})^{3}=5\sqrt{5}\approx11{,}18034\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 4

Cálculo dos campos \vec{E}_{1} e \vec{E}_{2} usando a fórmula:
\vec{E}_{i}=k\,q_{i}\,\dfrac{\vec{r}_{iP}}{r^{3}},\quad i=1,2.
Componentes:
  • Para q_{1}=+6{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C} e \vec{r}_{1P}=(1,\;2):
\vec{E}_{1}=k\,(6{,}0\times10^{-6})\dfrac{(1,\;2)}{r^{3}}.
  • Para q_{2}=-6{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C} e \vec{r}_{2P}=(-1,\;2):
\vec{E}_{2}=k\,(-6{,}0\times10^{-6})\dfrac{(-1,\;2)}{r^{3}}.
Agora somando componente a componente. Observe que as componentes y vão se cancelar porque:
  • E_{1y}=k(6\times10^{-6})\dfrac{2}{r^{3}},
  • E_{2y}=k(-6\times10^{-6})\dfrac{2}{r^{3}}=-k(6\times10^{-6})\dfrac{2}{r^{3}},
    logo E_{1y}+E_{2y}=0.
As componentes x somam no mesmo sentido:
  • E_{1x}=k(6\times10^{-6})\dfrac{1}{r^{3}},
  • E_{2x}=k(-6\times10^{-6})\dfrac{-1}{r^{3}}=k(6\times10^{-6})\dfrac{1}{r^{3}},
    logo E_{1x}+E_{2x}=2\,k(6\times10^{-6})\dfrac{1}{r^{3}}.

Passo 5

Cálculo numérico do campo resultante (substituindo números):
  • Prefator:
2\cdot k\cdot 6{,}0\times10^{-6} = 2\cdot(9{,}0\times10^{9})\cdot(6{,}0\times10^{-6})=1{,}08\times10^{5}.
  • Dividindo por r^{3}:
E_{x}=\dfrac{1{,}08\times10^{5}}{11{,}18034}\\ \mathrm{N/C}\approx9{,}66\times10^{3}\\ \mathrm{N/C}.
  • Como os componentes y se cancelaram, o campo total é puramente horizontal (e positivo em x):
\vec{E}_{\text{total}}=9{,}66\times10^{3}\,\hat{\imath}\\ \mathrm{N/C}.
Comentário intuitivo: o arranjo com q_{1}=+6\\ \mu\mathrm{C} do lado esquerdo e q_{2}=-6\\ \mu\mathrm{C} do lado direito cria um campo apontando para a direita em P.

Passo 6

Força elétrica sobre o elétron:
\vec{F}=q_{e}\,\vec{E}_{\text{total}}.
Substituindo q_{e}=-1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{C} e \vec{E}_{\text{total}}=9{,}66\times10^{3}\,\hat{\imath}\\ \mathrm{N/C}:
\vec{F}=-1{,}6\times10^{-19}\times 9{,}66\times10^{3}\,\hat{\imath}\\ \mathrm{N} \approx -1{,}55\times10^{-15}\,\hat{\imath}\\ \mathrm{N}.
  • Módulo da força:
|\vec{F}|=1{,}55\times10^{-15}\\ \mathrm{N}.
  • Direção / ângulo em relação ao eixo x: a componente x é negativa e não há componente y. Isso significa que a força aponta exatamente ao longo do eixo negativo x, ou seja, o ângulo com o eixo x (medido a partir de +x) é 180^\circ (ou \pi radianos).

Passo 7

Aceleração instantânea do elétron (segunda lei de Newton):
\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m}=\dfrac{-1{,}55\times10^{-15}\,\hat{\imath}}{9{,}11\times10^{-31}}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Cálculo numérico:
\vec{a}\approx -1{,}70\times10^{15}\,\hat{\imath}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Módulo: a=1{,}70\times10^{15}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    O sinal negativo indica aceleração para a esquerda (mesma direção da força).

Passo 8

Resposta qualitativa sobre inverter os sinais de q_{1} e q_{2} (aplicação tecnológica):
  • Trocar os sinais de q_{1} e q_{2} significa que o campo elétrico em P mudaria de direção (inverteria o vetor \vec{E}), porque cada contribuição de carga mudaria de sinal.
  • Como a força sobre o elétron é \vec{F}=q_{e}\vec{E}, e q_{e} é fixo e negativo, inverter \vec{E} inverte também a direção da força. Logo, o defelexão do feixe seria para o lado oposto ao original.
  • Em termos práticos num CRT ou osciloscópio: inverter a polaridade das placas (ou das cargas que as simulam) inverte a deflexão do feixe; a magnitude da deflexão (para o mesmo módulo das cargas) permanece a mesma, apenas o sentido muda.

Resposta

a) \vec{E}_{\text{total}}=9{,}66\times10^{3}\,\hat{\imath}\\ \mathrm{N/C}.
b) \vec{F}=-1{,}55\times10^{-15}\,\hat{\imath}\\ \mathrm{N}.
c) |\vec{F}|=1{,}55\times10^{-15}\\ \mathrm{N}, ângulo =180^\circ (direção ao longo de -x).
d) \vec{a}=-1{,}70\times10^{15}\,\hat{\imath}\\ \mathrm{m/s^{2}} (módulo 1{,}70\times10^{15}\\ \mathrm{m/s^{2}}).
e) Inverter os sinais de q_{1} e q_{2} invertiria o sentido do campo elétrico e, portanto, inverteria a direção da força sobre o elétron — o feixe seria desviado para o lado oposto; a magnitude da deflexão permaneceria (para mesmas magnitudes de carga).

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