(Dolce/Pompeo) As bases de um trapézio retângulo medem 3 m e 9 m e o seu perímetro é igual a 30 m . Calcule a altura.

Passo 1

O enunciado diz que temos um trapézio retângulo cujas bases medem \,3 m e \,9 m, e cujo perímetro é 30 m. Queremos encontrar a altura h. Para isso vamos usar:
  1. A definição de perímetro: soma das quatro arestas.
  2. O fato de ser trapézio retângulo (altura é um dos lados, e o outro lado oblíquo forma um triângulo retângulo com a diferença das bases).
  3. O Teorema de Pitágoras para relacionar a altura e a base oblíqua.

Passo 2

Denotando por h a altura e por L o lado oblíquo, as quatro arestas são:
\,9 (base maior),
\,3 (base menor),
\,h (altura),
\,L (lado oblíquo).
O perímetro vale
9 + 3 + h + L = 30.
Logo,
h + L = 30 - 12 = 18.

Passo 3

Como é trapézio retângulo, o lado oblíquo L é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são a altura h e a diferença entre as bases:
\bigl(9 - 3\bigr) = 6.
Pelo Teorema de Pitágoras,
L = \sqrt{h^2 + 6^2} = \sqrt{h^2 + 36}.

Passo 4

Substituindo L em h + L = 18, temos
h + \sqrt{h^2 + 36} = 18.
Isolamos a raiz:
\sqrt{h^2 + 36} = 18 - h,
e elevamos ao quadrado:
h^2 + 36 = (18 - h)^2 = h^2 - 36h + 324.
Cancelando h^2 de ambos os lados e reorganizando,
36 = -36h + 324 \quad\Longrightarrow\quad 36h = 324 - 36 = 288 \quad\Longrightarrow\quad h = 8.

Resposta

A altura do trapézio é 8 m.

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