O domínio e contradomínio das funções abaixo são subconjuntos da reta. Para cada um dos itens seguintes encontre o domínio (o maior possível) e a imagem.
Passo 1
Na questão a gente tem a função racional
. O assunto é domínio e imagem de função racional: vamos precisar achar onde o denominador some zero e depois ver quais valores
são assumidos por
.
Passo 2
Para achar o domínio, anulamos o denominador. Observamos que
e isso só zera se
Passo 3
Para a imagem, fazemos a troca
e resolvemos em
:
ou seja
Passo 4
Isso é uma equação quadrática em
:
Passo 5
Para existir
real, precisamos de discriminante
. Calculamos
Passo 6
Como
para todo
, sempre haveria raízes reais, mas precisamos checar dois casos especiais:
- Se
, a equação vira , ou seja , mas não está no domínio. Então não ocorre. - As raízes gerais para
são:
Para
Passo 7
Assim concluímos que só faltam na imagem
e
.
Resposta
Domínio = (-∞, -2) ∪ (-2, -1) ∪ (-1, ∞)
Imagem = (-∞, -1) ∪ (-1, 0) ∪ (0, ∞)
Imagem = (-∞, -1) ∪ (-1, 0) ∪ (0, ∞)