O domínio e contradomínio das funções abaixo são subconjuntos da reta. Para cada um dos itens seguintes encontre o domínio (o maior possível) e a imagem.
f(x)=-x-1x^2+3 x+2

Passo 1

Na questão a gente tem a função racional f(x)=-x-1x^2+3x+2. O assunto é domínio e imagem de função racional: vamos precisar achar onde o denominador some zero e depois ver quais valores y são assumidos por f(x).

Passo 2

Para achar o domínio, anulamos o denominador. Observamos que
x^2+3x+2=(x+1)(x+2)
e isso só zera se x=-1 ou x=-2. Logo, o domínio é todos os reais, exceto esses dois pontos.

Passo 3

Para a imagem, fazemos a troca y=f(x) e resolvemos em x:
y(x^2+3x+2)=-x-1
ou seja
yx^2 +3yx+2y + x +1=0

Passo 4

Isso é uma equação quadrática em x:
yx^2 + (3y+1)x + (2y+1)=0

Passo 5

Para existir x real, precisamos de discriminante D>=0. Calculamos
D=(3y+1)^2 -4y(2y+1) =9y^2+6y+1 -8y^2-4y =y^2+2y+1=(y+1)^2

Passo 6

Como (y+1)^2>=0 para todo y, sempre haveria raízes reais, mas precisamos checar dois casos especiais:
  • Se y=0, a equação vira 0cdot x^2 + x +1=0, ou seja x=-1, mas x=-1 não está no domínio. Então y=0 não ocorre.
  • As raízes gerais para yne0 são:
x=-(3y+1)pm(y+1)2y,que dão x1=-1 (sempre proibido) e x2=-2 -1y.
Para y=-1 o discriminante é zero e a única raiz é x=-1, proibida. Qualquer outro yne0,-1 gera x2ne-1,-2, logo vale.

Passo 7

Assim concluímos que só faltam na imagem y=0 e y=-1.

Resposta

Domínio = (-∞, -2) ∪ (-2, -1) ∪ (-1, ∞)
Imagem = (-∞, -1) ∪ (-1, 0) ∪ (0, ∞)

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