Seja k um número real positivo qualquer. Prove que a sequência (xn) converge para a se dado epsilon>0 existir n0 in N tal que |xn-a| para n>n0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que uma sequência (xn) converge para a sob uma certa condição. A matéria aqui é sobre convergência de sequências, que faz parte do cálculo ou análise matemática. Para resolver isso, vamos usar a definição de convergência e manipular as desigualdades com ajuda de um número real positivo k.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência (xn) convergir para a. Isso quer dizer que, para qualquer número pequeno epsilon > 0, a partir de certo ponto na sequência (digamos, a partir do n0-ésimo termo), todos os termos seguintes ficam a uma distância menor que epsilon de a. Em fórmula:
forall epsilon > 0, exists n0 in N tal que |xn - a| < epsilon para todo n > n0

Passo 3

Agora, no enunciado, temos que |xn - a| < kepsilon para n > n0. A ideia é ajustar isso para que se encaixe na definição padrão de convergência. Como k é um número positivo, podemos manipular a desigualdade para isolar epsilon.

Passo 4

Vamos substituir epsilon por epsilon' = epsilon / k. Como k > 0, epsilon' > 0 também. Com essa substituição, a desigualdade fica:
|xn - a| < k epsilon' = k (epsilonk) = epsilon
Então, temos que:
|xn - a| < epsilon para n > n0

Passo 5

Isso mostra que, para qualquer epsilon > 0, podemos encontrar um n0 tal que |xn - a| < epsilon para todo n > n0. Essa é exatamente a definição de que a sequência (xn) converge para a.

Resposta

Portanto, provamos que a sequência (xn) converge para a se, dado qualquer epsilon > 0, existir um n0 in N tal que |xn - a| < kepsilon para todo n > n0.

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