Seja
um número real positivo qualquer. Prove que a sequência
converge para
se dado
existir
tal que
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que uma sequência
converge para
sob uma certa condição. A matéria aqui é sobre convergência de sequências, que faz parte do cálculo ou análise matemática. Para resolver isso, vamos usar a definição de convergência e manipular as desigualdades com ajuda de um número real positivo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma sequência
convergir para
. Isso quer dizer que, para qualquer número pequeno
, a partir de certo ponto na sequência (digamos, a partir do
-ésimo termo), todos os termos seguintes ficam a uma distância menor que
de
. Em fórmula:
Passo 3
Agora, no enunciado, temos que
para
. A ideia é ajustar isso para que se encaixe na definição padrão de convergência. Como
é um número positivo, podemos manipular a desigualdade para isolar
.
Passo 4
Vamos substituir
por
. Como
,
também. Com essa substituição, a desigualdade fica:
Então, temos que:
Passo 5
Isso mostra que, para qualquer
, podemos encontrar um
tal que
para todo
. Essa é exatamente a definição de que a sequência
converge para
.
Resposta
Portanto, provamos que a sequência
converge para
se, dado qualquer
, existir um
tal que
para todo
.