Se (xn) é uma sequência tal que an neq 0 para todo n e lim xn neq 0, então existe de0 tal que |xn|>de para todo n.

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma sequência (xn) onde, para todo n, an neq 0, e o limite dessa sequência não é zero, ou seja, lim xn neq 0. A matéria envolvida aqui é análise de sequências, especificamente sobre limites e propriedades de limites. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o limite de uma sequência ser diferente de zero e como isso nos garante que os termos da sequência não ficam muito próximos de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que lim xn neq 0. Isso quer dizer que existe algum valor, digamos L, que é o limite da sequência, e L neq 0. Então, podemos escrever lim xn = L, onde L não é zero.

Passo 3

Agora, vamos usar a definição de limite. Sabemos que se lim xn = L, então para qualquer epsilon > 0, existe um número natural N tal que para todo n >= N, |xn - L| < epsilon. Como L neq 0, podemos escolher um epsilon pequeno o suficiente para garantir que os termos da sequência fiquem próximos de L e, portanto, não fiquem próximos de zero.

Passo 4

Escolhemos epsilon = |L|2. Então, existe um N tal que para todo n >= N, |xn - L| < |L|2. Isso implica que |xn| > |L| - |L|2 = |L|2. Portanto, para esses n, |xn| > |L|2.

Passo 5

Para os termos com n < N, como são um número finito de termos e cada xn neq 0, podemos encontrar o mínimo entre os valores |x1|, |x2|, dots, |xN-1|, que será uma de positiva.

Passo 6

Finalmente, definimos de como o mínimo entre de e |L|2. Assim, para todo n, seja n < N ou n >= N, temos |xn| > de.

Resposta

Existe de 0 tal que |xn| > de para todo n.

Exercícios relacionados