Se
é uma sequência tal que
para todo
e
, então existe
tal que
para todo
.
Passo 1
Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma sequência
onde, para todo
,
, e o limite dessa sequência não é zero, ou seja,
. A matéria envolvida aqui é análise de sequências, especificamente sobre limites e propriedades de limites. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o limite de uma sequência ser diferente de zero e como isso nos garante que os termos da sequência não ficam muito próximos de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que
. Isso quer dizer que existe algum valor, digamos
, que é o limite da sequência, e
. Então, podemos escrever
, onde
não é zero.
Passo 3
Agora, vamos usar a definição de limite. Sabemos que se
, então para qualquer
, existe um número natural
tal que para todo
,
. Como
, podemos escolher um
pequeno o suficiente para garantir que os termos da sequência fiquem próximos de
e, portanto, não fiquem próximos de zero.
Passo 4
Escolhemos
. Então, existe um
tal que para todo
,
. Isso implica que
. Portanto, para esses
,
.
Passo 5
Para os termos com
, como são um número finito de termos e cada
, podemos encontrar o mínimo entre os valores
, que será uma
positiva.
Passo 6
Finalmente, definimos
como o mínimo entre
e
. Assim, para todo
, seja
ou
, temos
.
Resposta
Existe
tal que
para todo
.