Mostre que se a sequência (xn) não converge para a, então existem epsilon0 e uma subsequência ( xnk ) tais que |xnk-a|>epsilon0 para todo k in N.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência (xn) que não converge para um número a. O que precisamos mostrar é que existe um número epsilon0 e uma subsequência (xnk) dessa sequência original, de forma que a distância |xnk - a| seja sempre maior que epsilon0 para todo k natural.
Estamos trabalhando com análise de sequências e convergência. Para resolver isso, vamos utilizar a definição de convergência de uma sequência e o conceito de subsequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de convergência. Dizemos que uma sequência (xn) converge para a se, para todo epsilon > 0, existe um número natural N tal que, para todo n >= N, temos |xn - a| < epsilon.
Como a sequência não converge para a, isso significa que a definição de convergência não é satisfeita. Ou seja, existe pelo menos um valor de epsilon para o qual a condição acima falha.

Passo 3

Vamos formalizar isso. Já que (xn) não converge para a, existe um epsilon0 > 0 tal que não existe N que satisfaça |xn - a| < epsilon0 para todo n >= N.
Em outras palavras, para esse epsilon0, sempre podemos encontrar termos da sequência além de qualquer índice N escolhido que estão a uma distância maior ou igual a epsilon0 de a.

Passo 4

Com base nisso, vamos construir uma subsequência (xnk) onde cada termo dessa subsequência satisfaz |xnk - a| > epsilon0.
Para fazer isso, começamos escolhendo n1 de modo que |xn1 - a| > epsilon0. Depois, escolhemos n2 > n1 tal que |xn2 - a| > epsilon0, e assim por diante para cada k. Isso é possível exatamente porque para cada etapa não há um índice N que limite os termos da sequência dentro de epsilon0 de a.

Passo 5

Assim, construímos uma subsequência (xnk) onde, por definição, cada termo está a uma distância maior que epsilon0 de a. Ou seja, |xnk - a| > epsilon0 para todo k in N.

Resposta

Portanto, mostramos que se a sequência (xn) não converge para a, então existe um epsilon0 > 0 e uma subsequência (xnk) tal que |xnk - a| > epsilon0 para todo k in N.

Exercícios relacionados