Mostre que se a sequência
não converge para
, então existem
e uma subsequência
tais que
para todo
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência
que não converge para um número
. O que precisamos mostrar é que existe um número
e uma subsequência
dessa sequência original, de forma que a distância
seja sempre maior que
para todo
natural.
Estamos trabalhando com análise de sequências e convergência. Para resolver isso, vamos utilizar a definição de convergência de uma sequência e o conceito de subsequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de convergência. Dizemos que uma sequência
converge para
se, para todo
, existe um número natural
tal que, para todo
, temos
.
Como a sequência não converge para
, isso significa que a definição de convergência não é satisfeita. Ou seja, existe pelo menos um valor de
para o qual a condição acima falha.
Passo 3
Vamos formalizar isso. Já que
não converge para
, existe um
tal que não existe
que satisfaça
para todo
.
Em outras palavras, para esse
, sempre podemos encontrar termos da sequência além de qualquer índice
escolhido que estão a uma distância maior ou igual a
de
.
Passo 4
Com base nisso, vamos construir uma subsequência
onde cada termo dessa subsequência satisfaz
.
Para fazer isso, começamos escolhendo
de modo que
. Depois, escolhemos
tal que
, e assim por diante para cada
. Isso é possível exatamente porque para cada etapa não há um índice
que limite os termos da sequência dentro de
de
.
Passo 5
Assim, construímos uma subsequência
onde, por definição, cada termo está a uma distância maior que
de
. Ou seja,
para todo
.
Resposta
Portanto, mostramos que se a sequência
não converge para
, então existe um
e uma subsequência
tal que
para todo
.