Para o domínio D=[pi, 3 pi / 2], reexpresse as funções abaixo apenas em termos de seno:
tg(x)

Passo 1

Neste exercício, queremos reescrever tan(x) apenas em termos de sin(x) para o domínio D=[pi,3pi/2]. Vamos usar identidades trigonométricas e considerar o sinal das funções no terceiro quadrante.

Passo 2

Sabemos pela definição que tan(x)=dfracsin(x)cos(x).
Pela identidade pitagórica temos cos^2(x)+sin^2(x)=1, o que implica cos(x)=pmraiz1-sin^2(x).

Passo 3

No intervalo [pi,3pi/2], tanto o seno quanto o cosseno são negativos (terceiro quadrante), então cos(x)=-raiz1-sin^2(x).

Passo 4

Substituindo este valor de cos(x) em tan(x)=sin(x)/cos(x), obtemos
tan(x)=-sin(x)raiz1-sin^2(x)

Resposta

-dfracsin(x)raiz1-sin^2(x)

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