Nos Exers. 16 a 25 ache as soluçöes dos problemas com valor iniciul cados.
y^prime prime-8 y^prime+16 y=0 ; y(0)=12, y^prime(0)=13.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y''-8y'+16y=0 com condições iniciais y(0)=tfrac12 e y'(0)=tfrac13. Isso é uma ED linear de segunda ordem com coeficientes constantes; vamos usar o polinômio característico para achar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado à equação homogênea:
r^2-8r+16=0
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos uma raiz dupla r=4.

Passo 3

Como a raiz r=4 tem multiplicidade 2, a solução geral da ED é
y(x)=(C1+C2x)e^4x,
onde C1 e C2 são constantes a determinar.

Passo 4

Para aplicar as condições iniciais, precisamos de y'(x). Derivando, temos
y'(x)=C2e^4x+4(C1+C2x)e^4x=igl(4C1+C2+4C2xr)e^4x

Passo 5

Agora usamos as condições em x=0:
  • y(0)=C1=tfrac12.
  • y'(0)=4C1+C2=4cdottfrac12+C2=2+C2 deve ser tfrac13.
    Então 2+C2=tfrac13 gera C2=tfrac13-2=-tfrac53.

Resposta

y(x) = (12-53x)e^4x

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