Dê o domínio e esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o domínio da função e (2) esboçar o gráfico da função dada. A função fornecida é
. Não há outras condições ou imagens.
Passo 2
O que significa “domínio” aqui? Domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão da função faz sentido. Algumas expressões não aceitam todo número real (por exemplo, divisão por zero, raiz par de número negativo, logaritmo de número não positivo).
No caso de expressões polinomiais ou lineares como , não aparece divisão nem raiz nem log, portanto a expressão está bem definida para qualquer número real. Isso significa que, intuitivamente, podemos escolher qualquer
e calcular
sem problema.
No caso de expressões polinomiais ou lineares como
Passo 3
Aplicando a ideia do passo anterior à função dada, concluímos que o domínio é todo o conjunto dos números reais. Em notação:
Passo 4
Agora sobre o esboço do gráfico. Para uma função linear geral
:
-
é o coeficiente angular (inclinação, “slope”); indica quanto muda quando aumenta 1 (variação vertical por variação horizontal). -
é o coeficiente linear (intercepto em ); é o valor de quando , ou seja o ponto no plano.
Regra prática para desenhar: basta encontrar dois pontos da reta (por exemplo o intercepto em
e outro ponto) e traçar a reta que passa por eles. Com dois pontos já se determina a reta exatamente; usar um terceiro ponto serve de checagem.
Passo 5
Identificando os parâmetros na função dada:
Portanto o intercepto em
é o ponto
Passo 6
Calcular mais alguns pontos úteis para plotar (sem calcular nada difícil, só substituir
):
Para o intercepto em
(onde a reta cruza o eixo
) resolve-se
:
Logo o intercepto em
é
.
Passo 7
Interpretação geométrica e instruções para esboçar sem calculadora:
- A função tem coeficiente angular negativo (
), então a reta desce da esquerda para a direita (é estritamente decrescente). - Para desenhar num papel quadriculado: marque os eixos
e ; coloque o ponto no eixo ; coloque o ponto e ou ; trace a reta que passa por esses pontos e estenda-a para ambos os lados, com setas nas extremidades para indicar que continua indefinidamente. Se quiser usar o “subir/descer”: a cada avanço de em a reta desce unidades em (porque o coeficiente é ) — isso ajuda a marcar pontos rapidamente.
Passo 8
Propriedades úteis (para checar o desenho):
- A imagem (contradomínio efetivo) da função é todo
, pois a reta com atinge todos os valores reais de . - A reta passa por
, , , , etc.; conferir que esses pontos estão alinhados ajuda a verificar o esboço.
Resposta
Domínio:
Esboço do gráfico: reta com coeficiente angular e intercepto em
igual a
; passa por
,
e
(desce 2 unidades em
para cada +1 em
).
Esboço do gráfico: reta com coeficiente angular