Expresse cada um dos conjuntos em notação de intervalo.
{x \in \mathbb{R} \mid 2 x-3<x+1}

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade
\{x\in\mathbb{R}\mid 2x-3<x+1\}
e pede para expressar esse conjunto em notação de intervalo. Ou seja:
  • Informação dada: a desigualdade \,2x-3<x+1\,.
  • O que se pede: escrever o conjunto solução em notação de intervalo (por exemplo algo do tipo (a,b), (-\infty,c], etc.).

Passo 2

Vamos resolver a desigualdade passo a passo. Primeiro, subtrai-se x de ambos os lados para agrupar as incógnitas; essa operação é permitida e preserva a desigualdade porque estamos somando (ou subtraindo) a mesma quantidade dos dois lados. Fazendo:
2x-3<x+1 \quad\Longrightarrow\quad (2x-3)-x < (x+1)-x.
Calculando os termos:
2x-3-x = x-3,\qquad (x+1)-x = 1.
Logo obtemos
x-3<1.

Passo 3

Agora isolamos x adicionando 3 aos dois lados. Adicionar (ou subtrair) uma mesma constante em ambos os lados também preserva a desigualdade. Assim:
x-3<1 \quad\Longrightarrow\quad (x-3)+3 < 1+3.
Isso dá
x<4.

Passo 4

Interpretação do resultado: a solução da desigualdade é o conjunto de todos os números reais x que são menores que 4. Em forma de conjunção isso fica
\{x\in\mathbb{R}\mid x<4\}.
Breve explicação sobre notação de intervalo (para saber como converter): uma desigualdade do tipo \,x<a\, corresponde ao intervalo que vai até a pela esquerda e não inclui a; em símbolos, isso é o intervalo que começa em -\infty (não incluído) e vai até a (não incluído).

Passo 5

Verificação rápida por teste: escolha um valor menor que 4, por exemplo x=0. Substituindo em \,2x-3<x+1\, obtemos 2\cdot0-3=-3 e 0+1=1, e realmente -3<1 é verdadeiro. Escolha um valor maior que 4, por exemplo x=5: 2\cdot5-3=7 e 5+1=6, aí 7<6 é falso. Isso confirma que a solução é exatamente todos os x menores que 4.

Resposta

(-\infty,4)

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