Prove que
é um domínio fatorial.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o anel dos inteiros
é um domínio fatorial, ou seja, que todo
se escreve como produto de irreducíveis (existência) e que essa escrita é única a menos da ordem dos fatores e de unidades
. Para isso, vamos usar o fato de que
é um domínio euclidiano com a norma
e depois provar existência de fatoração por indução e unicidade usando propriedade de primos.
Passo 2
Mostramos primeiro que
é domínio euclidiano usando
. Dado
com
, pelo algoritmo da divisão existe
tais que
Isso mostra que
é domínio euclidiano. Em particular, todo ideal em
é principal, então
é PID. Sabemos que todo PID é domínio fatorial, mas vamos detalhar existência e unicidade.
Passo 3
(Prova da existência de fatoração em irreducíveis por indução forte)
Definimos irreducível em como inteiro
com
que não se decompõe em fatores não-unidades. Seja
com
. Se
for irreducível, pronto. Caso contrário, existem
não unidades com
e
. Por hipótese de indução forte,
e
já têm fatoração em irreducíveis:
Definimos irreducível em
Logo
é uma fatoração em irreducíveis. Como todo
cai nesse processo, existe sempre fatoração em irreducíveis.
Passo 4
(Prova da unicidade da fatoração)
Suponha duas fatorações
Suponha duas fatorações
onde os
e
são irreducíveis. Em
irreducível equivale a primo, ou seja, se
então
ou
. Como
, existe um
tal que
. Mas
é irreducível, logo
. Reordenando e cancelando
com
, reduzimos o problema a
Aplicando recursivamente, obtemos que
e, após reordenações, cada
. Assim a fatoração é única, salvo permutação e sinais.
Resposta
Portanto, juntando existência e unicidade de fatoração em irreducíveis, concluímos que
é um domínio fatorial.