Prove que \mathbb{Z} é um domínio fatorial.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o anel dos inteiros \mathbb{Z} é um domínio fatorial, ou seja, que todo x\in\mathbb{Z}\setminus\{0,\pm1\} se escreve como produto de irreducíveis (existência) e que essa escrita é única a menos da ordem dos fatores e de unidades \pm1. Para isso, vamos usar o fato de que \mathbb{Z} é um domínio euclidiano com a norma \delta(n)=|n| e depois provar existência de fatoração por indução e unicidade usando propriedade de primos.

Passo 2

Mostramos primeiro que \mathbb{Z} é domínio euclidiano usando \delta(n)=|n|. Dado a,b\in\mathbb{Z} com b\neq0, pelo algoritmo da divisão existe q,r\in\mathbb{Z} tais que
a = bq + r \quad\text{com}\quad 0 \le |r| < |b|.
Isso mostra que \mathbb{Z} é domínio euclidiano. Em particular, todo ideal em \mathbb{Z} é principal, então \mathbb{Z} é PID. Sabemos que todo PID é domínio fatorial, mas vamos detalhar existência e unicidade.

Passo 3

(Prova da existência de fatoração em irreducíveis por indução forte)
Definimos irreducível em \mathbb{Z} como inteiro p com |p|>1 que não se decompõe em fatores não-unidades. Seja n\in\mathbb{Z} com |n|>1. Se n for irreducível, pronto. Caso contrário, existem a,b\in\mathbb{Z} não unidades com n = a b e 1<|a|,|b|<|n|. Por hipótese de indução forte, a e b já têm fatoração em irreducíveis:
a = p_1\cdots p_r, \quad b = q_1\cdots q_s.
Logo
n = p_1\cdots p_r\,q_1\cdots q_s
é uma fatoração em irreducíveis. Como todo n\neq0,\pm1 cai nesse processo, existe sempre fatoração em irreducíveis.

Passo 4

(Prova da unicidade da fatoração)
Suponha duas fatorações
n = p_1\cdots p_r \quad\text{e}\quad n = q_1\cdots q_s
onde os p_i e q_j são irreducíveis. Em \mathbb{Z} irreducível equivale a primo, ou seja, se p\mid ab então p\mid a ou p\mid b. Como p_1\mid q_1\cdots q_s, existe um j tal que p_1\mid q_j. Mas q_j é irreducível, logo p_1 = \pm q_j. Reordenando e cancelando p_1 com q_j, reduzimos o problema a
p_2\cdots p_r = (\text{resto dos }q\!)\,.
Aplicando recursivamente, obtemos que r=s e, após reordenações, cada p_i = \pm q_i. Assim a fatoração é única, salvo permutação e sinais.

Resposta

Portanto, juntando existência e unicidade de fatoração em irreducíveis, concluímos que \mathbb{Z} é um domínio fatorial.

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