Dê o domínio da função abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o domínio da função $ f(x) = \sqrt{\frac{e{x}}{x{2} - 1}} $. Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de $ x $ a função está definida. Para isso, vamos usar conceitos de funções reais, raízes quadradas e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, para uma função estar bem definida, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero. Além disso, o denominador de uma fração não pode ser zero, pois divisão por zero não é permitida. Então, temos duas condições para satisfazer:
- $ \frac{e{x}}{x{2} - 1} \geq 0 $
- $ x^{2} - 1 \neq 0 $
Passo 3
Vamos começar com a segunda condição: $ x^{2} - 1 \neq 0 $.
Resolvendo essa desigualdade:
Então, $ x $ não pode ser igual a 1 ou -1.
Passo 4
Agora, vamos analisar a primeira condição: $ \frac{e{x}}{x{2} - 1} \geq 0 $.
Sabemos que $ e^{x} $ é sempre positivo para qualquer valor de $ x $. Portanto, o sinal da fração depende apenas do denominador $ x^{2} - 1 $.
Queremos que a fração seja maior ou igual a zero, então precisamos que o denominador seja também positivo:
Resolvendo essa desigualdade:
Então, $ x $ precisa ser maior que 1 ou menor que -1.
Passo 5
Agora, juntando as condições que encontramos:
- $ x \neq 1 $ e $ x \neq -1 $
- $ x > 1 $ ou $ x < -1 $
Essas condições já estão incorporadas na segunda condição, já que se $ x > 1 $ ou $ x < -1 $, automaticamente $ x $ não será igual a 1 ou -1.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais menores que -1 ou maiores que 1. Em notação de intervalo: