Dê o domínio da função abaixo:
f(x) log 12(e^xx^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar o domínio da função $ f(x) \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{e{x}}{x{2}+1}\right) $. Isso envolve trabalhar com funções logarítmicas e entender onde essa função está definida. Vamos precisar lembrar que o argumento do logaritmo precisa ser positivo e que a base do logaritmo também deve ser válida.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que significa o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. No caso de uma função logarítmica $ \log_b(A) $, precisamos que o argumento $ A $ seja positivo, ou seja, $ A > 0 $, e que a base $ b $ seja positiva e diferente de 1, ou seja, $ b > 0 $ e $ b \neq 1 $.

Passo 3

Na nossa função, a base do logaritmo é $ \frac{1}{2} $. Vamos verificar se ela atende aos critérios:
  • $ \frac{1}{2} > 0 $ (positivo) ✅
  • $ \frac{1}{2} \neq 1 $ ✅
Então, a base está correta.

Passo 4

Agora, vamos garantir que o argumento do logaritmo, $ \frac{e{x}}{x{2}+1} $, seja positivo:
  • $ e^{x} $ é sempre positivo para qualquer valor de $ x $ ✅
  • $ x^{2} + 1 $ também é sempre positivo, já que $ x^{2} $ é não negativo e somando 1, fica sempre maior que zero ✅
Portanto, $ \frac{e{x}}{x{2}+1} > 0 $ para todo $ x $ real.

Passo 5

Como tanto a base quanto o argumento do logaritmo estão sempre dentro das condições necessárias para serem definidos, não há restrições adicionais sobre $ x $.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais, ou seja, $ x \in \mathbb{R} $.

Exercícios relacionados