Esboce o gráfico da função abaixo:
f(x)=-(|x|-1)^3+1

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x) = -l(lvert xrvert - 1r)^3 + 1
O conteúdo envolve transformações da função cúbica básica y = u^3, composição com valor absoluto e simetria em torno do eixo y.

Passo 2

Definimos a variável auxiliar u = lvert xrvert, que satisfaz u>=0. Assim estudamos
h(u) = -(u - 1)^3 + 1,
para u>=0. Em seguida, obteremos f(x) = h(lvert xrvert), garantindo simetria em x=0.

Passo 3

Analisando h(u) como transformação de y = u^3:
  1. u-1 desloca o gráfico uma unidade para a direita.
  2. O sinal “ -” reflete em relação ao eixo u.
  3. O “ +1” eleva tudo em uma unidade no eixo y.
Calculamos pontos-chave:
h(0) = -(-1)^3 + 1 = 2, h(1) = -(0)^3 + 1 = 1, h(2) = -(1)^3 + 1 = 0
A derivada é
h'(u) = -3(u-1)^2<=0,
logo h é estritamente decrescente em cada ramo (com ponto de inflexão em u=1).

Passo 4

Como f(x)=h(lvert xrvert), o gráfico de f é o de h(u) para u=x quando x>=0, e espelhado para x<0. Pontos importantes no plano (x,f(x)):
(0,2), (pm1,1), (pm2,0)
Para lvert xrverttoinfty, tem-se f(x)to -infty. Cada ramo x>=0 e x<=0 é suave, decrescente e com inflexão em (1,1) e (-1,1).

Passo 5

Resumo do esboço:
  • Máximo local em (0,2).
  • Infexão em (pm1,1).
  • Cruzamento com o eixo x em (pm2,0).
  • Função tende a -infty conforme xtopminfty.
  • Simetria par: espelhamento exato entre ramos direito e esquerdo.

Resposta

O gráfico é simétrico em relação ao eixo y, com ramo direito dado por
y = -(x-1)^3 + 1, x>=0,
e ramo esquerdo espelhado, apresentando os pontos (0,2), (pm1,1), (pm2,0), inflexão em (pm1,1) e decaindo para -infty conforme lvert xrverttoinfty.

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