Dizemos que (x0, y0) é um ponto crítico ou estacionário de z=f(x, y), se partial fpartial x(x0, y0)=0 e partial fpartial y(x0, y0)=0. Determine (caso existam) os pontos críticos da função dada.
f(x, y)=2 x^2+3 y^2

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão fala sobre pontos críticos de uma função de duas variáveis, no caso, . Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Para resolver isso, a gente vai precisar calcular essas derivadas parciais e encontrar os valores de e que as tornam zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x(2x^2 + 3y^2) = 4x em relação a , que é notada por . Isso significa que tratamos como uma constante e derivamos em relação a :

Passo 3

Agora, fazemos o mesmo para a derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y(2x^2 + 3y^2) = 6y em relação a , . Aqui, tratamos como constante:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos igualar essas derivadas a zero e resolver o sistema de equações:
4x = 0 6y = 0
Resolvendo cada equação:
4x = 0 Rightarrow x = 0
6y = 0 Rightarrow y = 0

Resposta

O único ponto crítico da função é .

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