O domínio da função dada por f(x)=tg(2 x) é o conjunto
x in R lvert, x neq pi4+k pi2, k in Z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o domínio da função $ f(x) = \tan(2x) $. O domínio é basicamente todos os valores de $ x $ que a função consegue aceitar sem dar problema, como divisões por zero ou raízes de números negativos. Para a tangente, sabemos que ela tem certos valores onde não está definida. Vamos descobrir esses valores para entender onde a função existe.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função tangente é igual ao seno dividido pelo cosseno, ou seja:
tan(2x) = sin(2x)cos(2x)
Para que $ \tan(2x) $ esteja definida, o denominador $ \cos(2x) $ não pode ser zero. Então, precisamos achar os valores de $ x $ que fazem $ \cos(2x) = 0 $.

Passo 3

Sabemos que o cosseno é igual a zero em determinados pontos do círculo trigonométrico. Especificamente:
cos(theta) = 0 quando theta = pi2 + kpi, k in Z
Aqui, $ k $ representa qualquer número inteiro, positivo ou negativo.

Passo 4

No nosso caso, $ \theta = 2x $. Então, vamos igualar:
theta = 2x
Agora, vamos resolver para $ x $:
2x = pi2 + kpi
Isso significa que para qualquer inteiro $ k $, quando $ x $ for $ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} $, a função $ \tan(2x) $ não estará definida.

Passo 5

Portanto, o domínio da função $ f(x) = \tan(2x) $ é todos os números reais exceto aqueles valores de $ x $ que fazem o cosseno ser zero, ou seja:
f(x) = tan(2x)

Resposta

O domínio da função é x in R ,g|, x neq pi4 + kpi2, , k in Z .

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