O domínio da função dada por
é o conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o domínio da função $ f(x) = \tan(2x) $. Ou seja, queremos saber para quais valores de $ x $ essa função está definida. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a função tangente e identificar onde ela pode não estar definida.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a função tangente é dada por:
Então, a tangente está indefinida quando o denominador, $ \cos(\theta) $, é igual a zero. No nosso caso, temos $ \tan(2x) $, então precisamos encontrar onde $ \cos(2x) = 0 $.
Passo 3
Vamos resolver a equação $ \cos(2x) = 0 $. Sabemos que o cosseno de um ângulo é zero nos pontos:
Aqui, $ k $ representa qualquer número inteiro, positivo ou negativo.
Passo 4
Agora, vamos isolar $ x $ para encontrar os valores que devem ser excluídos do domínio:
Isso significa que a função $ f(x) = \tan(2x) $ não está definida para $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} $, com $ k $ inteiro.
Resposta
O domínio da função $ f(x) = \tan(2x) $ é todos os números reais $ x $ exceto aqueles que satisfazem:
Em notação de conjunto, fica assim: