Um tanque contém inicialmente 1000 ell de água salgada com 10 kg de sal dissolvido. Entra no tanque água contendo 0,05 kg de sal por litro à razão de 51 / min. A mistura escoa do tanque à razão de 31 / min. Ache a quantidade de sal no tanque após 20 min (a partir de t=0).

Passo 1

A questão é um problema de mistura de tanques. Temos inicialmente 1000 L de solução com 10 kg de sal, entra solução a 51 L/min com concentração de 0,05 kg/L e sai mistura a 31 L/min. O volume no tanque varia como V(t)=1000+20t. Vamos modelar a quantidade de sal y(t) com uma EDO linear de 1ª ordem.

Passo 2

Definimos y(t) como a quantidade de sal (kg). A entrada de sal por minuto é c_in·q_in = 0,05·51 = 2,55 kg/min. A saída é proporcional à concentração na mistura: (y/V(t))·q_out. Logo a EDO é
y'(t) = 2,55 - 311000+20t,y(t)

Passo 3

Reescrevendo num formato padrão de EDO linear:
y'(t) + 311000+20ty(t) = 2,55

Passo 4

Calculamos o fator integrante:
mu(t)=expl(integral 311000+20t,dtr)=expl(3120ln(1000+20t)r)=(1000+20t)^31/20

Passo 5

Multiplicando a EDO por μ(t), obtemos d(y·μ)/dt = 2,55·μ(t). Integramos:
y(t)(1000+20t)^31/20=integral 2,55, (1000+20t)^31/20dt + C
Fazendo a substituição u=1000+20t, dt=du/20, chega-se a
y(t)(1000+20t)^31/20=0,05,(1000+20t)^51/20+C
Dividindo por (1000+20t)^{31/20},
y(t)=0,05(1000+20t)+C,(1000+20t)^-31/20

Passo 6

Usamos y(0)=10 kg para achar C. Em t=0, 1000+20·0=1000, então
10=0,05cdot1000 + C,1000^-31/20 Longrightarrow C=-40,1000^31/20
Logo
y(t)=0,05(1000+20t)-40,1000^31/20(1000+20t)^-31/20

Passo 7

Para t=20 min, o volume é 1000+20·20=1400. Então
y(20)=0,05cdot1400 -40l(tfrac10001400r)^31/20=70 -40l(tfrac57r)^31/20
Numericamente, (5/7)^31/20approx0,5940, logo y(20)≈46,24 kg de sal.

Resposta

A quantidade de sal após 20 min é aproximadamente 46,24 kg.

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