Um tanque contém inicialmente
de água salgada com
de sal dissolvido. Entra no tanque água contendo
de sal por litro à razão de
. A mistura escoa do tanque à razão de
. Ache a quantidade de sal no tanque após
(a partir de
).
Passo 1
A questão é um problema de mistura de tanques. Temos inicialmente 1000 L de solução com 10 kg de sal, entra solução a 51 L/min com concentração de 0,05 kg/L e sai mistura a 31 L/min. O volume no tanque varia como V(t)=1000+20t. Vamos modelar a quantidade de sal y(t) com uma EDO linear de 1ª ordem.
Passo 2
Definimos y(t) como a quantidade de sal (kg). A entrada de sal por minuto é c_in·q_in = 0,05·51 = 2,55 kg/min. A saída é proporcional à concentração na mistura: (y/V(t))·q_out. Logo a EDO é
Passo 3
Reescrevendo num formato padrão de EDO linear:
Passo 4
Calculamos o fator integrante:
Passo 5
Multiplicando a EDO por μ(t), obtemos d(y·μ)/dt = 2,55·μ(t). Integramos:
Fazendo a substituição u=1000+20t, dt=du/20, chega-se a
Dividindo por (1000+20t)^{31/20},
Passo 6
Usamos y(0)=10 kg para achar C. Em t=0, 1000+20·0=1000, então
Logo
Passo 7
Para t=20 min, o volume é 1000+20·20=1400. Então
Numericamente,
Resposta
A quantidade de sal após 20 min é aproximadamente 46,24 kg.