f(x)=ccc 3-x & se & x<2 2 & se & x=2 x2 & se & x>2
(a) Faça um esboço do gráfico de f.
(b) Determine lim x 2^+ f(x), lim x 2^- f(x) e f(2).
© Existe lim x 2 f(x) ? Em caso afirmativo, qual é? Em caso negativo, por que não?

Passo 1

O enunciado apresenta uma função por partes e pede o esboço do gráfico, o cálculo dos limites laterais em x=2 e a análise da existência do limite em x=2. O conteúdo envolve funções definidas por partes e limites.

Passo 2

Para esboçar o gráfico, desenha-se: a reta y=3−x para x<2 (com ponto aberto em (2,1)), o ponto isolado (2,2) e a reta y=x/2 para x>2 (com ponto aberto em (2,1)).

Passo 3

Para x→2−, usamos a regra f(x)=3−x. Substituindo x=2, temos f(2−)=3−2=1. Então limxto2^-f(x)=1.
Para x→2+, usamos a regra f(x)=x/2. Substituindo x=2, temos f(2+)=2/2=1. Então limxto2^+f(x)=1.
O valor exato de f em 2 já está dado: f(2)=2.

Passo 4

Como as duas limites laterais são iguais (ambos 1), existe limxto2f(x) e vale 1. Entretanto isso difere de f(2), logo há uma descontinuidade de salto na altura do ponto.
Concluímos que o limite em x=2 existe e é igual a 1, mas f(2)=2 faz a função ser descontínua em x=2.

Resposta

(a) Gráfico: reta y=3−x para x<2 com ponto aberto em (2,1), ponto isolado em (2,2) e reta y=x/2 para x>2 com ponto aberto em (2,1).
(b) limxto2^-f(x)=1, limxto2^+f(x)=1, f(2)=2
© Sim, limxto2f(x)=1, mas difere de f(2), logo há descontinuidade em x=2.

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