O gráfico de uma função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é uma reta que passa pelos pontos (2,7) e (4,3). Encontre uma fórmula para f(x).

Passo 1

O enunciado dá uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} cujo gráfico é uma reta que passa pelos pontos (2,7) e (4,3). A pergunta é: encontrar uma fórmula para f(x) (ou seja, uma expressão que dê y em função de x para essa reta).
Informações relevantes dadas:
  • Ponto 1: (x_1,y_1)=(2,7).
  • Ponto 2: (x_2,y_2)=(4,3).
  • A função é linear (uma reta), logo a fórmula terá forma y = mx + b para algum m e b.

Passo 2

Vamos calcular a inclinação (coeficiente angular) da reta, que é o quanto y varia quando x varia. A fórmula da inclinação é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui, m representa a inclinação (ou coeficiente angular), x_1,y_1 são as coordenadas do primeiro ponto e x_2,y_2 as do segundo.

Passo 3

Substituindo os valores dos pontos na fórmula da inclinação:
m=\frac{3-7}{4-2}=\frac{-4}{2}=-2.
Portanto a reta tem inclinação -2. Isso significa que, a cada aumento de 1 em x, y diminui em 2.

Passo 4

Usamos a forma ponto-de-reta (point-slope) para escrever a equação da reta a partir de um ponto conhecido e da inclinação:
y-y_1=m(x-x_1).
Escolhendo o ponto (2,7) e m=-2, temos
y-7=-2(x-2).

Passo 5

Agora resolvemos essa igualdade para escrever na forma y=mx+b (forma explícita). Primeiro expandir o lado direito:
y-7=-2x+4.
Em seguida isolar y:
y=-2x+4+7,
y=-2x+11.
Logo a fórmula da função é f(x)=-2x+11.

Passo 6

Verificação rápida: substituir x=2 e x=4 na fórmula obtida para checar se os pontos dados são realmente satisfeitos.
f(2)=-2\cdot 2+11=-4+11=7,
f(4)=-2\cdot 4+11=-8+11=3.
Ambos batem com os pontos fornecidos, então a fórmula está correta.

Resposta

f(x)=-2x+11

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