Dada a função f(x, y)=x^2+y^2+2 x a curva de nível relativa a k=4 é:
a) x^2+(y-1)^2=5
b) (x-1)^2+y^2=5
c) x^2+(y+1)^2=5
d) (x+1)^2+y^2=5
e) x^2+(y-1)^2=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função matemática chamada $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} + 2x $ e precisa encontrar a curva de nível quando $ k = 4 $. Curvas de nível são como “linhas de igual valor” para a função. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e entender como reescrever expressões quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar a função ao valor de $ k $:
k

Passo 3

Agora, nosso objetivo é deixar essa equação na forma de uma equação de círculo, que geralmente é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
onde (h, k) é o centro e $ r $ é o raio.

Passo 4

Para transformar $ x^{2} + 2x $ em algo parecido com $ (x - h)^{2} $, vamos completar o quadrado. Olha só:
x^2 + 2x

Passo 5

Substituindo de volta na equação original:
(x + 1)^2 - 1 + y^2 = 4
Simplificando:
(x + 1)^2 + y^2 = 5

Passo 6

Agora, comparando com as opções disponíveis, vemos que:
a) $ x^{2} + (y - 1)^{2} = 5 $
b) $ (x - 1)^{2} + y^{2} = 5 $
c) $ x^{2} + (y + 1)^{2} = 5 $
d) $ (x + 1)^{2} + y^{2} = 5 $
e) $ x^{2} + (y - 1)^{2} = 4 $
A que bateu com o que encontramos foi a opção d).

Resposta

A curva de nível é $ (x + 1)^{2} + y^{2} = 5 $, ou seja, a opção d).

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