Dada a função
a curva de nível relativa a
é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função matemática chamada $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} + 2x $ e precisa encontrar a curva de nível quando $ k = 4 $. Curvas de nível são como “linhas de igual valor” para a função. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e entender como reescrever expressões quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos igualar a função ao valor de $ k $:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é deixar essa equação na forma de uma equação de círculo, que geralmente é:
onde
é o centro e $ r $ é o raio.
Passo 4
Para transformar $ x^{2} + 2x $ em algo parecido com $ (x - h)^{2} $, vamos completar o quadrado. Olha só:
Passo 5
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Agora, comparando com as opções disponíveis, vemos que:
a) $ x^{2} + (y - 1)^{2} = 5 $
b) $ (x - 1)^{2} + y^{2} = 5 $
c) $ x^{2} + (y + 1)^{2} = 5 $
d) $ (x + 1)^{2} + y^{2} = 5 $
e) $ x^{2} + (y - 1)^{2} = 4 $
b) $ (x - 1)^{2} + y^{2} = 5 $
c) $ x^{2} + (y + 1)^{2} = 5 $
d) $ (x + 1)^{2} + y^{2} = 5 $
e) $ x^{2} + (y - 1)^{2} = 4 $
A que bateu com o que encontramos foi a opção d).
Resposta
A curva de nível é $ (x + 1)^{2} + y^{2} = 5 $, ou seja, a opção d).