Determine as soluções das Equações diferenciais abaixo:
(x-1) y^{\prime}-y=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar as soluções da equação diferencial
(x-1)\,y' - y = 0.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A incógnita é a função y=y(x) e y' denota \dfrac{dy}{dx}.
  • A equação pode ter um problema em x=1, pois o coeficiente (x-1) anula-se aí. Assim, devemos prestar atenção ao domínio das soluções (tipicamente tratamos separadamente os intervalos x<1 e x>1).
  • A equação exige encontrar todas as funções y(x) que satisfaçam essa igualdade para os x do domínio considerado.

Passo 2

Reorganizando a equação para isolar a derivada, divido ambos os lados por (x-1), lembrando que isso só é válido quando x\neq1. Então obtemos
y'=\frac{y}{x-1},\qquad (x\neq1).
Explicação curta: dividir por (x-1) é uma simples álgebra — mas não podemos fazer isso em x=1 porque aí ocorreria divisão por zero. Por isso resolveremos a equação em intervalos que não contenham x=1.

Passo 3

Agora vejo que a equação é separável (isto é, podemos colocar os termos em y de um lado e os termos em x do outro). Faço a separação das variáveis:
\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x-1},\qquad (y\neq0,\; x\neq1).
Comentário didático: separar variáveis significa escrever a diferencial de um lado apenas com y e do outro apenas com x. Note que aqui precisei dividir por y, então a derivação que vem a seguir assume y\neq0. A solução y\equiv0 deve ser tratada separadamente (é uma solução possível).

Passo 4

Integro ambos os lados. A primitiva de \dfrac{1}{y} em relação a y é \ln|y|. A primitiva de \dfrac{1}{x-1} em relação a x é \ln|x-1|. Assim,
\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x-1}
implica
\ln|y| = \ln|x-1| + C,
onde C é uma constante arbitrária de integração.

Passo 5

Faço exponenciação para eliminar o logaritmo. Aplicando e^{(\cdot)} em ambos os lados:
|y| = e^{C}\,|x-1|.
Chamo K=e^{C}, com K>0. Portanto |y|=K|x-1|. Removo as barras de valor absoluto absorvendo o sinal em uma constante real arbitrária A (que pode ser positiva, negativa ou zero):
y = A(x-1),
onde A\in\mathbb{R} é constante. Observação: o caso A=0 corresponde à solução trivial y\equiv0.

Passo 6

Resumo das soluções e comentários sobre domínio:
  • Para qualquer intervalo que não contenha x=1 (por exemplo (-\infty,1) ou (1,\infty)), a solução geral é
y(x)=A(x-1),\qquad A\in\mathbb{R}.
  • Em x=1 não podemos dividir por (x-1) ao derivar; se quisermos estender uma solução até x=1, precisamos checar a equação original no ponto x=1. Substituindo x=1 na equação original obtemos -y(1)=0, logo y(1)=0. A forma y(x)=A(x-1) com A\in\mathbb{R} já satisfaz y(1)=0. A solução identicamente zero ( A=0) é válida para todo x.
  • Observação extra (útil para prova): em princípio você pode escolher constantes diferentes para os ramos x<1 e x>1, isto é, y(x)=A_1(x-1) para x<1 e y(x)=A_2(x-1) para x>1; ambas as expressões dão y(1)=0 e satisfazem a equação para x\neq1. Porém, em termos de solução clássica em um intervalo aberto que contenha x=1, não se pode exigir uma única constante A se o intervalo atravessa 1 (porque a equação não está bem definida em 1). Para a maioria das aplicações e para a forma usual de apresentar a solução geral, dizemos que a solução em cada intervalo onde a equação é regular ( x\neq1) é y=A(x-1).

Resposta

y(x)=A(x-1),\; A\in\mathbb{R}, válida para x\neq1.\n y(x)\equiv0 (caso A=0, válida em todo \mathbb{R}).

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