Determine as soluções das Equações diferenciais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para determinar as soluções da equação diferencial
Informações dadas e observações imediatas:
- A incógnita é a função
e denota . - A equação pode ter um problema em
, pois o coeficiente anula-se aí. Assim, devemos prestar atenção ao domínio das soluções (tipicamente tratamos separadamente os intervalos e ). - A equação exige encontrar todas as funções
que satisfaçam essa igualdade para os do domínio considerado.
Passo 2
Reorganizando a equação para isolar a derivada, divido ambos os lados por
, lembrando que isso só é válido quando
. Então obtemos
Explicação curta: dividir por
é uma simples álgebra — mas não podemos fazer isso em
porque aí ocorreria divisão por zero. Por isso resolveremos a equação em intervalos que não contenham
.
Passo 3
Agora vejo que a equação é separável (isto é, podemos colocar os termos em
de um lado e os termos em
do outro). Faço a separação das variáveis:
Comentário didático: separar variáveis significa escrever a diferencial de um lado apenas com
e do outro apenas com
. Note que aqui precisei dividir por
, então a derivação que vem a seguir assume
. A solução
deve ser tratada separadamente (é uma solução possível).
Passo 4
Integro ambos os lados. A primitiva de
em relação a
é
. A primitiva de
em relação a
é
. Assim,
implica
onde
é uma constante arbitrária de integração.
Passo 5
Faço exponenciação para eliminar o logaritmo. Aplicando
em ambos os lados:
Chamo
, com
. Portanto
. Removo as barras de valor absoluto absorvendo o sinal em uma constante real arbitrária
(que pode ser positiva, negativa ou zero):
onde
é constante. Observação: o caso
corresponde à solução trivial
.
Passo 6
Resumo das soluções e comentários sobre domínio:
- Para qualquer intervalo que não contenha
(por exemplo ou ), a solução geral é
- Em
não podemos dividir por ao derivar; se quisermos estender uma solução até , precisamos checar a equação original no ponto . Substituindo na equação original obtemos , logo . A forma com já satisfaz . A solução identicamente zero ( ) é válida para todo . - Observação extra (útil para prova): em princípio você pode escolher constantes diferentes para os ramos
e , isto é, para e para ; ambas as expressões dão e satisfazem a equação para . Porém, em termos de solução clássica em um intervalo aberto que contenha , não se pode exigir uma única constante se o intervalo atravessa (porque a equação não está bem definida em ). Para a maioria das aplicações e para a forma usual de apresentar a solução geral, dizemos que a solução em cada intervalo onde a equação é regular ( ) é .