(a) Dê o domínio da funcão
.
(b) Calcule a derivada
para
em cada um dos intervalos
e
e justifique que
não existe.
(c) Verifique que a função
é uma solucão de
em cada um dos intervalos
ou
.
(b) Calcule a derivada
(c) Verifique que a função
Passo 1
O enunciado trata da função
e pede:
– (a) determinar o domínio;
– (b) calcular em
e em
e justificar que
não existe;
– (c) verificar que em cada um dos dois intervalos essa função satisfaz
– (a) determinar o domínio;
– (b) calcular
– (c) verificar que em cada um dos dois intervalos essa função satisfaz
Vamos usar a definição de valor absoluto, a regra da potência e a regra da cadeia para derivar, e depois substituir na equação diferencial dada.
Passo 2
Para todo real
o valor
está bem definido, e é possível elevar
à potência
. Logo o domínio é
Passo 3
Em
temos
, logo
Aplicando a regra da potência,
Passo 4
Em
temos
, de modo que
Pela regra da cadeia, com
e
,
Passo 5
Para examinar
calculamos os limites laterais:
Como os limites laterais são divergentes e diferentes,
não existe.
Passo 6
Verificamos
separadamente:
Para
:
Para
: usando
e
, note que
Mas
, então
Resposta
(a)
e .
(c) Em ambos os intervalos verifica-se
.]