(a) Dê o domínio da funcão y=|x|^2 / 3.
(b) Calcule a derivada y^prime(x) para x em cada um dos intervalos (-infty, 0) e (0, infty) e justifique que y^prime(0) não existe.
(c) Verifique que a função y=|x|^2 / 3 é uma solucão de 3 x y^prime-2 y=0 em cada um dos intervalos (-infty, 0) ou (0, infty).

Passo 1

O enunciado trata da função
y=|x|^2/3
e pede:
– (a) determinar o domínio;
– (b) calcular y'(x) em (-infty,0) e em (0,infty) e justificar que y'(0) não existe;
– (c) verificar que em cada um dos dois intervalos essa função satisfaz
3,x,y'-2,y=0
Vamos usar a definição de valor absoluto, a regra da potência e a regra da cadeia para derivar, e depois substituir na equação diferencial dada.

Passo 2

Para todo real x o valor |x| está bem definido, e é possível elevar |x| à potência 2/3. Logo o domínio é
xinR=R

Passo 3

Em x>0 temos |x|=x, logo
y=x^2/3
Aplicando a regra da potência,
y'=23,x^-1/3, x>0

Passo 4

Em x<0 temos |x|=-x, de modo que
y =(-x)^2/3
Pela regra da cadeia, com u=-x e u'=-1,
y'=23,u^-1/3,u' =-23,(-x)^-1/3, x<0

Passo 5

Para examinar y'(0) calculamos os limites laterais:
limxto0^+y'(x) =limxto0^+23x^-1/3=+infty, limxto0^-y'(x) =limxto0^-l(-23(-x)^-1/3r)=-infty
Como os limites laterais são divergentes e diferentes, y'(0) não existe.

Passo 6

Verificamos 3,x,y'-2,y separadamente:
Para x>0:
3x,y' =3xcdot23x^-1/3 =2,x^2/3 =2,y ;;Longrightarrow;; 3x,y'-2y=0
Para x<0: usando y'=-tfrac23(-x)^-1/3 e y=(-x)^2/3, note que
3x,y' =3xl(-23(-x)^-1/3r) =-2,x,(-x)^-1/3
Mas x,(-x)^-1/3=-|x|^2/3=-y, então
3x,y'=-2,(-y)=2y ;;Longrightarrow;; 3x,y'-2y=0

Resposta

(a)
e .
(c) Em ambos os intervalos verifica-se .]

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