1 ( 2,0 pts.) Resolva a inequação x(x-2)(x+2)(x-5) >= 0

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação racional
x(x-2)(x+2)(x-5) >= 0
O conteúdo envolve inequações de frações racionais: precisamos identificar o domínio, os zeros do numerador, os pontos que anulam o denominador (polos) e fazer um quadro de sinais.

Passo 2

Determinamos o domínio observando o denominador (x+2)(x-5). As proibições são
x+2=0implies x=-2, x-5=0implies x=5
Logo o domínio é Rsetminus-2,5.

Passo 3

Encontramos os zeros do numerador x(x-2)=0, que ocorrem em
x=0 e x=2
Nesses pontos a fração se anula, podendo satisfazer o “ >=0”.

Passo 4

Construímos a reta com os pontos críticos -2,0,2,5 e, em cada intervalo, testamos o sinal de cada fator:
Para x<-2:
x<0,;x-2<0,;x+2<0,;x-5<0.
Numerador (-) cdot (-)=+, denominador (-) cdot (-)=+, logo a fração é >0.
Para -2<x<0:
x<0,;x-2<0,;x+2>0,;x-5<0.
Numerador (+), denominador (+) cdot (-)=-, fração <0.
Para 0<x<2:
x>0,;x-2<0,;x+2>0,;x-5<0.
Numerador (+) cdot (-)=-, denominador (+) cdot (-)=-, fração >0.
Para 2<x<5:
x>0,;x-2>0,;x+2>0,;x-5<0.
Numerador +, denominador (+) cdot (-)=-, fração <0.
Para x>5:
x>0,;x-2>0,;x+2>0,;x-5>0.
Numerador +, denominador +, fração >0.

Passo 5

Como queremos x(x-2)(x+2)(x-5)>=0, incluímos os intervalos onde a fração é positiva e também os zeros do numerador. Excluímos os pontos -2 e 5 (onde a expressão é indefinida).

Resposta

(-infty,-2);cup;[0,2];cup;(5,infty)

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