Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime prime-3 y^prime-4 y=2 e^-t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y' - 4y = 2e^-t
Vamos usar o método clássico: primeiro encontramos a solução da parte homogênea pela equação característica e depois buscamos uma solução particular via coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos a equação característica
r^2 - 3r - 4 = 0
que tem raízes
r = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm 52,
isto é, r=4 e r=-1. Portanto a solução homogênea é
yh = C1 e^4t + C2 e^-t

Passo 3

Como o termo não homogêneo é 2e^-t e e^-t já aparece em yh, tentamos
yp = A,t,e^-t
Calculamos as derivadas:
yp' = A e^-t - A t e^-t, yp'' = -2A e^-t + A t e^-t
Substituindo em y'' - 3y' - 4y:
yp'' - 3yp' - 4yp = (-2A - 3A)e^-t + (A + 3A - 4A),t,e^-t = -5A e^-t
Igualando a 2e^-t obtemos
-5A = 2 Longrightarrow A = -25,
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yp = -25,t,e^-t

Passo 4

Juntando homogênea e particular, a solução geral é
y(t) = yh + yp = C1 e^4t + C2 e^-t - 25,t,e^-t

Resposta

y(t) = C1 e^4t + C2 e^-t - 25t,e^-t

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