Dê o domínio das funções abaixo e calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede o domínio de f(x)=|x–1|/(1+x) e suas assíntotas verticais e horizontais. Vamos usar conceitos de domínio (denominador ≠0), limite para x→a onde dá ∞ (assimptota vertical) e limite para x→±∞ (assimptota horizontal).
Passo 2
Para achar o domínio, basta garantir que o denominador não se anule. Resolvendo 1+x≠0 obtemos x≠–1. Como o valor absoluto vale para todo real, o domínio é
.
Passo 3
A assíntota vertical aparece onde a função explode, ou seja, onde x→–1. Calculando os limites laterais: para x→–1^+, o numerador |x–1|→2 e o denominador →0^+, logo f(x)→+∞; para x→–1^–, o denominador →0^– e o numerador →2, logo f(x)→–∞. Portanto temos:
Passo 4
Para as assíntotas horizontais, calculamos os limites em ±∞ separando o valor absoluto:
• Para x→+∞ (>1), |x–1|=x–1 e
• Para x→+∞ (>1), |x–1|=x–1 e
• Para x→-∞ (<1), |x–1|=-(x-1)=1-x e
Resposta
Domínio:
Assíntota vertical:
Assíntota vertical:
Assíntotas horizontais: