Calcule e verifique sua resposta por derivação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de
em relação a
e depois verificar a resposta fazendo a derivação. Estamos lidando com integrais de potências de
, e para resolver isso, vamos precisar lembrar da regra de integração para funções da forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a integração. Sabemos que
é o mesmo que
. Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, aplicamos a regra de integração para potências de
. A regra diz que:
onde
e
é a constante de integração.
Passo 4
No nosso caso,
. Vamos substituir na fórmula:
Passo 5
Simplificando a expressão, temos:
Então, a integral é:
Passo 6
Agora, vamos verificar nossa resposta derivando o resultado. Se derivarmos
, devemos voltar à função original
.
A derivada de
é:
Como obtivemos a função original, nossa integração está correta!
Resposta
A integral de
em relação a
é: