Dê o domínio das funções abaixo e calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam:
xsen(x)

Passo 1

Estamos analisando a função f(x)=xsin(x). O conteúdo aqui é função trigonométrica com análise de domínio e de assíntotas. Para resolver, vamos precisar achar onde o denominador se anula (domínio e possíveis assíntotas verticais) e estudar o comportamento em xtopminfty (assíntotas horizontais).

Passo 2

O domínio de f é o conjunto de x tais que sin(x)neq0. Sabemos que sin(x)=0 exatamente em x=kpi, com kinZ. Portanto

Passo 3

Para assíntotas verticais, examinamos o limite em torno de cada x=kpi. Expandindo sin(x) via Taylor em torno de kpi temos
$$\sin(x)\approx(-1)^k,(x-k\pi)
$$

Passo 4

Logo, perto de x=kpi
$$
f(x)=\frac{x}{\sin(x)}\approx\frac{x}{(-1)^k,(x-k\pi)}\n$$

Passo 5

Quando kneq0, o numerador xto kpi é não nulo e o denominador tende a zero, fazendo f(x)topminfty. Assim temos assíntotas verticais em x=kpi para kinZsetminus0. No caso k=0, a expansão dá sin(x)approx x e f(x)approx1, logo é uma descontinuidade removível, não assíntota.

Passo 6

Para assíntotas horizontais, estudamos xtopminfty. Como sin(x) oscila em [-1,1], o quociente x/sin(x) não tende a valor finito, mas cresce em módulo de forma oscilante entre +infty e -infty. Logo não há assíntotas horizontais.

Resposta

Domínio de f: Rsetminuskpi:kinZ. Assíntotas verticais: x=kpi para kinZsetminus0. Não existem assíntotas horizontais.

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