Dê o domínio das funções abaixo e calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam:
Passo 1
Estamos analisando a função
. O conteúdo aqui é função trigonométrica com análise de domínio e de assíntotas. Para resolver, vamos precisar achar onde o denominador se anula (domínio e possíveis assíntotas verticais) e estudar o comportamento em
(assíntotas horizontais).
Passo 2
O domínio de
é o conjunto de
tais que
. Sabemos que
exatamente em
, com
. Portanto
Passo 3
Para assíntotas verticais, examinamos o limite em torno de cada
. Expandindo
via Taylor em torno de
temos
$$\sin(x)\approx(-1)^k,(x-k\pi)
$$
Passo 4
Logo, perto de
$$
f(x)=\frac{x}{\sin(x)}\approx\frac{x}{(-1)^k,(x-k\pi)}\n$$
Passo 5
Quando
, o numerador
é não nulo e o denominador tende a zero, fazendo
. Assim temos assíntotas verticais em
para
. No caso
, a expansão dá
e
, logo é uma descontinuidade removível, não assíntota.
Passo 6
Para assíntotas horizontais, estudamos
. Como
oscila em
, o quociente
não tende a valor finito, mas cresce em módulo de forma oscilante entre
e
. Logo não há assíntotas horizontais.
Resposta
Domínio de
:
. Assíntotas verticais:
para
. Não existem assíntotas horizontais.