Dê o domínio das funções listadas a seguir:
f(x)=\sqrt{2-4 x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
f(x)=\sqrt{2-4x}.
Informações dadas: a expressão dentro da raiz é \,2-4x\,. A pergunta é: para quais valores de x essa expressão torna f(x) bem definida como número real?

Passo 2

Conceito chave (explicação didática): para a raiz quadrada de índice par (a raiz quadrada comum) a expressão dentro da raiz — chamada radicando — precisa ser maior ou igual a zero para que o valor seja um número real. Em outras palavras, para uma função g(x)=\sqrt{h(x)} o domínio é o conjunto de x tais que
h(x)\ge 0.
Exemplo rápido para fixar: \sqrt{x} só faz sentido para x\ge 0; \sqrt{3-x} exige 3-x\ge 0.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso radicando \,2-4x\,: devemos exigir
2-4x \ge 0.
Isso é uma desigualdade linear em x.

Passo 4

Resolver a desigualdade passo a passo:
  1. Subtrai-se 2 dos dois lados:
2-4x-2 \ge 0-2 \quad\Rightarrow\quad -4x \ge -2.
  1. Agora divide-se ambos os lados por -4. Atenção importante: ao dividir (ou multiplicar) por um número negativo, a desigualdade troca de sinal. Por isso:
x \le \tfrac{1}{2}.
(Se você esquecer de trocar o sinal, vai achar x\ge \tfrac{1}{2} e isso estaria errado — lembre-se sempre dessa regra.)

Passo 5

Interpretação e verificação rápida:
  • O ponto limite x=\tfrac{1}{2} \,2-4\cdot\tfrac{1}{2}=2-2=0, e \sqrt{0}=0 é aceitável, então o extremo está incluído.
  • Para x=0 temos \sqrt{2}>0 — funciona.
  • Para x=1 temos \sqrt{2-4}=\sqrt{-2} — não é real, logo x=1 não pertence ao domínio.
    Portanto todos os x menores ou iguais a \tfrac{1}{2} são permitidos.

Passo 6

Escrever o domínio em notação habitual:
  • Em forma de conjunto:
\{x\in\mathbb{R}\mid x\le \tfrac{1}{2}\}
  • Em intervalo:
(-\infty,\tfrac{1}{2}]

Resposta

(-\infty,\tfrac{1}{2}]

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