Dê o domínio das funções listadas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
.\n
Informações dadas: a função é uma raiz cúbica do radicando . Não há outras restrições explícitas.
Informações dadas: a função é uma raiz cúbica do radicando
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que significa domínio: o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão que define a função está bem definida (ou seja, para os quais faz sentido calcular o valor da função).
Agora uma ideia-chave sobre raízes: existem diferenças entre raízes de índice par (por exemplo
, raiz quadrada) e raízes de índice ímpar (por exemplo
, raiz cúbica).
-
Para uma raiz de índice par (como
): o radicando precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real. Exemplo: está ok, mas não é real. -
Para uma raiz de índice ímpar (como
): o radicando pode ser qualquer número real, porque raízes ímpares de números negativos são números reais negativos. Exemplo: .
Passo 3
Aplicando essa regra ao nosso caso: estamos diante de uma raiz de índice
(ímpar), ou seja
. Portanto não há restrição do tipo “radicando
0”. O radicando aqui é
, e como a raiz cúbica aceita qualquer número real,
pode ser qualquer número real.
Passo 4
Para ficar ainda mais claro, veja exemplos concretos calculando a função em alguns
:
-
Se
, então e . -
Se
, então e .
Esses exemplos mostram que tanto
grandes quanto
menores que
são permitidos.
Passo 5
Outra forma de ver: seja
. Então elevando ambos os lados ao cubo temos
, logo
. Como
pode ser qualquer número real e
percorre todos os reais,
também pode ser qualquer número real. Isso prova que não há restrição para
.
Passo 6
Conclusão: não existe nenhuma restrição no radicando imposta pela raiz cúbica, então o domínio é todo o conjunto dos números reais.