Dê o domínio das funções listadas a seguir:
f(x)=\sqrt[3]{x-3}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função f(x)=\sqrt[3]{x-3}.\n
Informações dadas: a função é uma raiz cúbica do radicando x-3. Não há outras restrições explícitas.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que significa domínio: o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define a função está bem definida (ou seja, para os quais faz sentido calcular o valor da função).
Agora uma ideia-chave sobre raízes: existem diferenças entre raízes de índice par (por exemplo \sqrt{\cdot}, raiz quadrada) e raízes de índice ímpar (por exemplo \sqrt[3]{\cdot}, raiz cúbica).
  • Para uma raiz de índice par (como \sqrt{\cdot}): o radicando precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real. Exemplo: \sqrt{4}=2 está ok, mas \sqrt{-1} não é real.
  • Para uma raiz de índice ímpar (como \sqrt[3]{\cdot}): o radicando pode ser qualquer número real, porque raízes ímpares de números negativos são números reais negativos. Exemplo: \sqrt[3]{-8}=-2.

Passo 3

Aplicando essa regra ao nosso caso: estamos diante de uma raiz de índice 3 (ímpar), ou seja \sqrt[3]{\cdot}. Portanto não há restrição do tipo “radicando \ge 0”. O radicando aqui é x-3, e como a raiz cúbica aceita qualquer número real, x-3 pode ser qualquer número real.

Passo 4

Para ficar ainda mais claro, veja exemplos concretos calculando a função em alguns x:
  • Se x=11, então x-3=8 e \sqrt[3]{x-3}=\sqrt[3]{8}=2.
  • Se x=-5, então x-3=-8 e \sqrt[3]{x-3}=\sqrt[3]{-8}=-2.
Esses exemplos mostram que tanto x grandes quanto x menores que 3 são permitidos.

Passo 5

Outra forma de ver: seja y=\sqrt[3]{x-3}. Então elevando ambos os lados ao cubo temos y^3=x-3, logo x=y^3+3. Como y pode ser qualquer número real e y^3 percorre todos os reais, x também pode ser qualquer número real. Isso prova que não há restrição para x.

Passo 6

Conclusão: não existe nenhuma restrição no radicando imposta pela raiz cúbica, então o domínio é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

\mathbb{R}

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