Dê o Domínio, Imagem e esboce o Gráfico
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função racional
. O conteúdo aqui é análise de função racional (hipérbole) e vamos precisar usar a condição de denominador não nulo para o domínio e raciocinar sobre os valores possíveis de
para a imagem.
Passo 2
Para achar o domínio, observamos que o denominador não pode ser zero. Logo, devemos ter
. Assim,
Passo 3
Para determinar a imagem, notamos que
nunca se anula (não existe
tal que
) e, à medida que
varia em valores muito grandes ou muito pequenos (positivos ou negativos),
assume valores arbitrariamente próximos de zero e tende a
. Assim, todos os reais, exceto zero, fazem parte da imagem.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, lembramos que
é uma hipérbole com dois ramos: um no primeiro quadrante (quando
,
) e outro no terceiro quadrante (quando
,
). As assíntotas são as retas
e
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Esboço do gráfico: hipérbole equilátera com ramos no 1º quadrante (para ) e no 3º quadrante (para
), com assíntotas em
e
.
Imagem:
Esboço do gráfico: hipérbole equilátera com ramos no 1º quadrante (para