Dê o Domínio, Imagem e esboce o Gráfico
f(x)=2x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função racional f(x)=2x. O conteúdo aqui é análise de função racional (hipérbole) e vamos precisar usar a condição de denominador não nulo para o domínio e raciocinar sobre os valores possíveis de f(x) para a imagem.

Passo 2

Para achar o domínio, observamos que o denominador não pode ser zero. Logo, devemos ter xneq 0. Assim,

Passo 3

Para determinar a imagem, notamos que f(x)=tfrac2x nunca se anula (não existe x tal que tfrac2x=0) e, à medida que x varia em valores muito grandes ou muito pequenos (positivos ou negativos), f(x) assume valores arbitrariamente próximos de zero e tende a pminfty. Assim, todos os reais, exceto zero, fazem parte da imagem.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, lembramos que f(x)=tfrac2x é uma hipérbole com dois ramos: um no primeiro quadrante (quando x>0, f(x)>0) e outro no terceiro quadrante (quando x<0, f(x)<0). As assíntotas são as retas x=0 e y=0.

Resposta

Domínio: ( -infty,0)cup(0,infty )
Imagem: ( -infty,0)cup(0,infty )
Esboço do gráfico: hipérbole equilátera com ramos no 1º quadrante (para x>0) e no 3º quadrante (para x<0), com assíntotas em x=0 e y=0.

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